高中数学三轮复习（直击痛点）：专题16立体几何中范围和最值问...

更新时间：2024-02-23 浏览次数：12 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2023高二上·淳安月考) 如图，棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为正方体表面BCC₁B₁上的一个动点，E ， F分别为BD₁的三等分点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·佳木斯期中) 已知平面上两定点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则所有满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）的点 $\text{[math]}$ 的轨迹是一个圆心在 $\text{[math]}$ 上，半径为 $\text{[math]}$ 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体 $\text{[math]}$ 表面上动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023高二上·仓山期中) 如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E ， F分别是侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022高一下·温州期末) 如图，二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的大小为 $\text{[math]}$ 为半平面 $\text{[math]}$ 内的两个点， $\text{[math]}$ 为半平面 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022·南阳模拟) 传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， $\text{[math]}$ 为圆柱上下底面的圆心， $\text{[math]}$ 为球心， $\text{[math]}$ 为底面圆 $\text{[math]}$ 的一条直径，若球的半径 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 球与圆柱的表面积之比为 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 截得球的截面面积取值范围为 $\text{[math]}$ C . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积的最大值为16 D . 若 $\text{[math]}$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围 $\text{[math]}$

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6. (2023高二下·湖南期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是表面积为 $\text{[math]}$ 的球面上四点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高三上·浙江开学考) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球表面积为 $\text{[math]}$ ，体积为 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022·海宁模拟) 平面直角坐标系中，若两点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则称点S和点T保持了合理间距．正方形 $\text{[math]}$ 中，顶点 $\text{[math]}$ ，动点P，Q都在正方形 $\text{[math]}$ 内（包括边界），且点P在抛物线 $\text{[math]}$ 上，则下列说法错误的是（）

A . 若点P与点O，A，B都保持了合理间距，则点P的横坐标的取值范围是 $\text{[math]}$ B . 若点Q与点O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积为6 C . 若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最大值为6 D . 若点Q与点P，O，A，B都保持了合理间距，则点Q的轨迹所形成的面积最小值为 $\text{[math]}$

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二、多项选择题

9. (2024高三上·荣昌月考) 如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，E是线段 $\text{[math]}$ 的中点，点M，N满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，过E，M，N三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 $\text{[math]}$

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10. (2023·) 如图，棱长为6的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为 $\text{[math]}$ D . 过A、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形

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11. (2023高二上·仓山期中) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形． $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是棱PB上一点（不包括端点）．F是平面 $\text{[math]}$ 内一点，则（）

A . 存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 以 $\text{[math]}$ 为球心，半径为1的球与四棱锥 $\text{[math]}$ 的四个侧面的交线长为 $\text{[math]}$

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12. (2022高一下·宿迁期末) 已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 的棱长均为2，点D是棱 $\text{[math]}$ 上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是（）

A . 棱 $\text{[math]}$ 上总存在点E，使得直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的周长有最小值，但无最大值 C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 当点D是棱 $\text{[math]}$ 的中点时，二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为 $\text{[math]}$

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13. (2022高三上·福田模拟) 已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（）

A . 一定不是正方体 B . 外接球的表面积为 $\text{[math]}$ C . 长、宽、高的值均属于区间 $\text{[math]}$ D . 体积的取值范围为 $\text{[math]}$

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14. (2024高三上·昌乐模拟) 如图，在边长为2的正方形AP₁P₂P₃中，线段BC的端点B，C分别在边P₁P₂ ， P₂P₃上滑动，且P₂B＝P₂C＝x。现将△AP₁B，△AP₃C分别沿AB，CA折起使点P₁ ， P₃重合，重合后记为点P，得到三棱锥P－ABC。现有以下结论：（）

A . AP⊥平面PBC B . 当B，C分别为P₁P₂ ， P₂P₃的中点时，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为6π C . x的取值范围为(0，4－2 $\text{[math]}$ ) D . 三棱锥P－ABC体积的最大值为 $\text{[math]}$

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15. (2023·杭州模拟) 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 $\text{[math]}$ 的一条直径，若球的半径 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 球与圆柱的体积之比为 $\text{[math]}$ B . 四面体CDEF的体积的取值范围为 $\text{[math]}$ C . 平面DEF截得球的截面面积最小值为 $\text{[math]}$ D . 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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16. (2023高三上·宝安月考) 如图，圆锥 $\text{[math]}$ 内有一个内切球 $\text{[math]}$ ，球 $\text{[math]}$ 与母线 $\text{[math]}$ 分别切于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ 为圆锥底面圆的中心， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的一条直径（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合），则下列说法正确的是（）

A . 球的表面积与圆锥的侧面积之比为 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 $\text{[math]}$ 最大值为 $\text{[math]}$

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17. (2022高二上·保定月考) 很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为24，棱长为 $\text{[math]}$ 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，则下列各选项正确的是（）

A . 该半正多面体的体积为 $\text{[math]}$ B . A，C，D，F四点共面 C . 该半正多面体外接球的表面积为 $\text{[math]}$ D . 若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为 $\text{[math]}$

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18. (2022·南通模拟) 已知三棱锥D－ABC的外接球的表面积为24π，直角三角形ABC的斜边 $\text{[math]}$ ， CD⊥BC，则（）

A . BC⊥平面ACD B . 点D的轨迹的长度为2π C . 线段CD长的取值范围为（0，2 $\text{[math]}$ ] D . 三棱锥D－ABC体积的最大值为 $\text{[math]}$

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19. (2024高三上·北碚月考) 如图，圆锥 $\text{[math]}$ 的底面圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ，母线长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的动点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与底面所成角为45° B . 圆锥 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 的中点，则二面角 $\text{[math]}$ 的平面角大小为45°

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20. (2022·滨州二模) 在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥 $\text{[math]}$ ，如图2所示，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为4 C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$ D . 过点M的平面截三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球所得截面的面积的取值范围为 $\text{[math]}$

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三、填空题

21. (2023高二上·福州期中) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点M是棱BC的中点.
1. （1）若点N为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则平面AMN截正方体的截面的面积为；
2. （2）若点N是棱 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则点 $\text{[math]}$ 到平面AMN的距离的最小值为.
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22. (2023·浙江模拟) 若正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为3，平面ABC内有一动点P到平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 、平面 $\text{[math]}$ 的距离依次成等差数列，则点P在面 $\text{[math]}$ 内的轨迹的长度为.

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23. (2023高三上·花都月考) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为3，动点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内，且AP与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为.

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24. (2023高三上·长沙月考) 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体 $\text{[math]}$ 表面上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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25. (2023高二上·郫都月考) 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，已知动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发，沿外表面经过棱 $\text{[math]}$ 上一点到点 $\text{[math]}$ 的最短距离为 $\text{[math]}$ ，则该棱锥的外接球的体积为．

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26. (2022·嵊州模拟) 已知矩形 $\text{[math]}$ ，设E是边 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ．现将 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，设二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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27. (2023高二上·东莞月考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ 是等腰三角形，则平面 $\text{[math]}$ 上任意一点到底面 $\text{[math]}$ 中心距离的最小值为.

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28. (2023高三上·诸暨期末) 如图，正四棱台 $\text{[math]}$ ，上下底面分别是边长为4，6的正方形，若 $\text{[math]}$ ，则该棱台外接球表面积的取值范围是．

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四、解答题

29. (2023高三上·东莞期中) 如图，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ ， E为AB的中点．将 $\text{[math]}$ 沿DE折起，使A到达 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到四棱锥 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）当二面角 $\text{[math]}$ 的平面角在 $\text{[math]}$ 内变化时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的取值范围．
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30. (2023高三上·广东月考) 如图，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ 是三棱锥 $\text{[math]}$ 的高，且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.
1. （1）证明：点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的一点（不含端点），求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角余弦值的最大值.
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31. (2022高二上·辽宁月考) 如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O， $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 为该圆柱的轴截面， $\text{[math]}$ ，点E在底面圆周上，点G为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试问线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点F，使得 $\text{[math]}$ ?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值的最大值.
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32. (2022高一下·宿迁期末) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角A的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，
  ① $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于M，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
  ②若D是线段 $\text{[math]}$ 上的点，E是线段 $\text{[math]}$ 上的点，满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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