湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高三上册数学月考(...

更新时间：2024-02-21 浏览次数：38 类型：月考试卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若虚部大于0的复数 $\text{[math]}$ 满足方程 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 设向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为θ ，定义 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . 25

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5. 血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的 $\text{[math]}$ ，当血药浓度为峰值的 $\text{[math]}$ 时，给药时间为（）

A . 11小时 B . 13小时 C . 17小时 D . 19小时

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6. 对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，要比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小，我们就可通过构造函数 $\text{[math]}$ 来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的部分图象如图所示，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有3个零点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 定义在 $\text{[math]}$ 上的不恒为零的偶函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ （）

A . 30 B . 60 C . 90 D . 120

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二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位：℃）的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有（）

A . 一个都没有 B . 甲地 C . 乙地 D . 丙地

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10. 点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线， $\text{[math]}$ 为切点，则（）

A . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . 弦长 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径圆上 D . 线段 $\text{[math]}$ 经过一个定点

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11. 如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面是梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P是棱 $\text{[math]}$ 的中点．Q是棱 $\text{[math]}$ 上一动点（不包含端点），则（）

A . $\text{[math]}$ 与平面BPQ有可能平行 B . $\text{[math]}$ 与平面BPQ有可能平行 C . 三角形BPQ周长的最小值为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值

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12. 设正整数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为.（用数字作答）

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14. 写出一个同时具有下列两个性质的函数 $\text{[math]}$ ：.
① $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

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15. (2023高三上·湛江开学考) 双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右支上有一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆与 $\text{[math]}$ 轴相切，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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16. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体 $\text{[math]}$ 表面上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求满足条件的最大整数n.
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18. 如图所示，等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使点D到达点P的位置（ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ）.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，试判断线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点Q（不含端点），使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积，若不存在，说明理由.
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19. $\text{[math]}$ 的内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，点O为 $\text{[math]}$ 的内心，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 中选一个作为条件，判断 $\text{[math]}$ 是否存在，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是减函数，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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21. 新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A ， B ， C ， D这四个选项，四个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.某次多项选择题专项训练中，共有 $\text{[math]}$ 道题，正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为 $\text{[math]}$ ，并且规定若第 $\text{[math]}$ 题正确选项为两个，则第 $\text{[math]}$ 题正确选项为两个的概率为 $\text{[math]}$ ；若第 $\text{[math]}$ 题正确选项为三个，则第 $\text{[math]}$ 题正确选项为三个的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求第n题正确选项为两个的概率；
2. （2）请根据期望值来判断：第二题是选一个选项还是选两个选项，更能获得较高分.
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ， B ，当动点M在定直线 $\text{[math]}$ 上运动时，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交椭圆于两点P和Q.
  ①证明：点B在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆内；
  ②求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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