河南省南阳市2022-2023学年高三理数第二次大练习试卷

更新时间：2023-04-14 浏览次数：98 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023高二上·衡南期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的所有非空真子集的个数是（）

A . 6 B . 7 C . 14 D . 15

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2. (2022高三上·武冈期中) 欧拉公式 $\text{[math]}$ 把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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3. 在等比数列 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 128 B . 64 C . 64或 $\text{[math]}$ D . 128或 $\text{[math]}$

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4. 若抛物线 $\text{[math]}$ 上的一点M到坐标原点O的距离为 $\text{[math]}$ ，则点M到该抛物线焦点的距离为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 1

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5. 变量X与Y相对应的一组数据为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；变量U与V相对应的一组数据为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 表示变量Y与X之间的线性相关系数， $\text{[math]}$ 表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 的各条棱长都相等， $\text{[math]}$ 是侧棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 锐角 $\text{[math]}$ 是单位圆的内接三角形，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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8. 讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为（）

A . 20 B . 30 C . 35 D . 210

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴相邻两个交点之间的最小距离为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴的所有交点的横坐标之和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 $\text{[math]}$ 存在如下关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲､乙两家影院，小明第一天去甲､乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（）

A . 第二天去甲影院的概率为0.44 B . 第二天去乙影院的概率为0.44 C . 第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为 $\text{[math]}$ D . 第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为 $\text{[math]}$

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11. 传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， $\text{[math]}$ 为圆柱上下底面的圆心， $\text{[math]}$ 为球心， $\text{[math]}$ 为底面圆 $\text{[math]}$ 的一条直径，若球的半径 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 球与圆柱的表面积之比为 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 截得球的截面面积取值范围为 $\text{[math]}$ C . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积的最大值为16 D . 若 $\text{[math]}$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围 $\text{[math]}$

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12. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位： $\text{[math]}$ ）所示，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 均与圆 $\text{[math]}$ 相切， $\text{[math]}$ 为切点，零件的截面 $\text{[math]}$ 段为圆 $\text{[math]}$ 的一段弧，已知 $\text{[math]}$ ，则该零件的截面的周长为（）cm（结果保留 $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. $\text{[math]}$ 的展开式的第 $\text{[math]}$ 项为．

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14. 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线右支交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．

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16. 已知正实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，证明： $\text{[math]}$ ．
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18. (2022高三上·湖北月考) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为等边三角形，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角大小为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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19. 某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为 $\text{[math]}$ ，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．
1. （1）若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且 $\text{[math]}$ ，求p的取值范围；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过直线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 作椭圆的切线，切点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 轴上时，切线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，判断关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内解的个数，并说明理由．
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22. 极坐标系中曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，以极点为原点，极轴为 $\text{[math]}$ 轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线 $\text{[math]}$ 均过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；写出 $\text{[math]}$ 的参数方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 分别与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 的最小值为m，正实数a，b满足 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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