广东省深圳市宝安区2024届高三上学期数学10月调研试卷

更新时间：2023-12-29 浏览次数：26 类型：月考试卷

一、单选题

1. 若集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的共轭复数，则复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2018·河北模拟) 已知圆锥曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知过点P与圆 $\text{[math]}$ 相切的两条直线的夹角为 $\text{[math]}$ ，设过点P与圆 $\text{[math]}$ 相切的两条直线的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .记命题 $\text{[math]}$ ：“数列 $\text{[math]}$ 为等比数列”，命题 $\text{[math]}$ ：“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列”，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O为坐标原点，余弦相似度为向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 夹角的余弦值，记作 $\text{[math]}$ ，余弦距离为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若P ， Q的余弦距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则Q ， R的余弦距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A . 从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25 B . 已知一组数据1，2，m ， 6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C . 数据26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位数是18 D . 若样本数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的标准差为4，则数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 的标准差为16

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10. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1， $\text{[math]}$ 等星的星等值为 $\text{[math]}$ .已知两个天体的星等值 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和它们对应的亮度 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足关系式 $\text{[math]}$ ，关于星等下列结论正确的是（）

A . 星等值越小，星星就越亮 B . 1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C . 若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 $\text{[math]}$ D . 若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为偶函数，则（）

A . $\text{[math]}$ 为偶函数 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图，圆锥 $\text{[math]}$ 内有一个内切球 $\text{[math]}$ ，球 $\text{[math]}$ 与母线 $\text{[math]}$ 分别切于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ 为圆锥底面圆的中心， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 的一条直径（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合），则下列说法正确的是（）

A . 球的表面积与圆锥的侧面积之比为 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线 C . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 $\text{[math]}$ 最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 将一些小于10的正整数填入如下 $\text{[math]}$ 的方格 $\text{[math]}$ 中，使得每行和每列中的数的乘积都等于10，共有种不同的填法．

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14. 中国客家博物馆坐落于有“世界客都”之称的广东省梅州市城区，是一间收藏、研究、展示客家历史文化的综合性博物馆，其主馆是一座圆台形建筑，如图.现有一圆台，其上、下底面圆的半径分别为3米和6米，母线长为5米，则该圆台的体积约为立方米.（结果保留整数）

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15. (2023·河南模拟) 先将函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ ，纵坐标不变，所得图象与函数 $\text{[math]}$ 的图象关于x轴对称，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恰有两个零点，且在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. (2023高三上·罗湖月考) 正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 内 $\text{[math]}$ 含边界 $\text{[math]}$ 的动点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离与到平面 $\text{[math]}$ 的距离相等，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的取值范围为．

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四、解答题

17. $\text{[math]}$ 的角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 距离的最大值.
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面ABCD ，点E为棱PC的中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面PAD；
2. （2）在棱PC上是否存在点F ，使得二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，请说明理由．
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
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20. 给定数列 $\text{[math]}$ ，若满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，且对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“指数型数列”．
1. （1）已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为“指数型数列”；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
  ①判断数列 $\text{[math]}$ 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
  ②若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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21. 人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩 $\text{[math]}$ 人，在Ⅱ时期生孩 $\text{[math]}$ 人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等． $\text{[math]}$ 服从0-1分布且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 分布列如下图：
$\text{[math]}$
0
1
2
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为 $\text{[math]}$ ；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为 $\text{[math]}$ ；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为 $\text{[math]}$ ，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为 $\text{[math]}$ （针对普遍家庭）．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的期望与方差；
2. （2）由数据 $\text{[math]}$ 组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为 $\text{[math]}$ ，分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，总体样本点与两个分层样本点均值分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，方差分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ，并利用该公式估算题设样本总体的方差．
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五、证明题

22. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）我们称圆心在椭圆C上运动，半径为 $\text{[math]}$ 的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A ， B两点，若直线OA ， OB的斜率存在，记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求证： $\text{[math]}$ 为定值；
  ②试问 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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