人教版九年级上对接中考知识点复习专项计划——二次函数的应用之动态几何问题（不含相似及三角函数九上适用）-在线组卷

1. (2022·青海) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C.

图1 图2

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $\text{[math]}$ 的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

2. (2022·通辽) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 点，直线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一点，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（3）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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3. (2022·广东) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ （b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，过P作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）求 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并求此时P点坐标．

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4. (2022·宣州模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝－x＋3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且 $\text{[math]}$ ，点P是抛物线 $\text{[math]}$ 上的动点．

（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．

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5. (2022·牡丹江模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A、B两点，且与x轴的负半轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一点， $\text{[math]}$ ，直接写出点D的坐标．

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6. (2022九上·岳麓开学考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ 的面积的 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
（3）当 $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的的坐标；若不存在，请说明理由．

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7. (2022·济宁) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴有公共点．

（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线 $\text{[math]}$ 先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线 $\text{[math]}$ （如图所示），抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3） D为抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点，过点C作抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线 $\text{[math]}$ 于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．

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8. (2022·日照) 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2mx+3m，点A（3，0）．

（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．

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9. (2022·枣庄) 如图①，已知抛物线L：y＝x²+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC $\text{[math]}$ x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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10. (2022·鄂尔多斯) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2经过A（ $\text{[math]}$ ， 0），B（3， $\text{[math]}$ ）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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11. (2022·烟台) 如图，已知直线y＝ $\text{[math]}$ x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax²+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的表达式；
（2） D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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12. (2022·东营) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使 $\text{[math]}$ 的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

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13. (2022·鞍山) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式．
（2）点 $\text{[math]}$ 是第三象限抛物线上一点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为12，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交所成锐角为 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

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14. (2022·黔东南) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点 $\text{[math]}$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. (2022·威海) 探索发现

（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．
①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；
②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；
（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），
猜想：作MN⊥x轴于N，直线DM交直线x=1于Q，则QN∥AD，证明见解析

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16. (2022·齐齐哈尔) 综合与探究

如图，某一次函数与二次函数 $\text{[math]}$ 的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．

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17. (2022·绥化) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交y轴于点 $\text{[math]}$ ，并经过点 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ， D点的坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点E从A点出发，以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度沿着射线 $\text{[math]}$ 运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作 $\text{[math]}$ 于F，以 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达 $\text{[math]}$ 上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．

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18. (2022·天津) 已知抛物线 $\text{[math]}$ （a，b，c是常数， $\text{[math]}$ ）的顶点为P，与x轴相交于点 $\text{[math]}$ 和点B．

（1）若 $\text{[math]}$ ，
①求点P的坐标；
②直线 $\text{[math]}$ （m是常数， $\text{[math]}$ ）与抛物线相交于点M，与 $\text{[math]}$ 相交于点G，当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，求点M，G的坐标；
（2）若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当 $\text{[math]}$ 的最小值为5时，求点E，F的坐标．

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19. (2022·滨州) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求线段AC的长；
（2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求点M的坐标．

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20. (2022·达州) 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C.

（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接 $\text{[math]}$ ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， $\text{[math]}$ 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. (2022·重庆) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线AB交于点A(0，-4)，B(4，0)．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在(2)中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

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22. (2022·诸城模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 的顶点坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点．

（1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；
（2）求抛物线的解析式；
（3） $\text{[math]}$ 绕平面内一点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，即点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出 $\text{[math]}$ 的坐标．

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23. (2022·运城模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线 $\text{[math]}$ 轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；
（2）设点P的横坐标为m（ $\text{[math]}$ ），在点P运动的过程中，当等腰直角 $\text{[math]}$ 的面积为9时，请求出m的值；
（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使 $\text{[math]}$ ，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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24. (2022·和平模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线 $\text{[math]}$ 经过点A、点B．

（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；
（2）若在第三象限的抛物线上有一动点M，当点M到直线AB的距离最大时，求点M的坐标；
（3）点C，D分别为线段AO，线段AB上的点，且 $\text{[math]}$ ，连接CD．将线段CD绕点D顺时针旋转90度，点C旋转后的对应点为点E，连接OE．当线段OE的长最小时，请直接写出直线DE的函数表达式．

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25. (2022·科尔沁左翼中旗模拟) 已知抛物线y＝ax²＋bx＋3经过点A （1，0）和点B （－3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．

（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；
（2）如图1，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接OP交BC于点D，当S_△CPD∶S_△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；
（4）如图3，点E的坐标为（0，－1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标．

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26. (2022·阳泉模拟) 综合与探究

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线的顶点为D，直线y＝x＋b与抛物线交于A，F两点，过点D作DE∥y轴交直线AF于点E．

（1）求抛物线和直线AF的解析式；
（2）在直线AF上方的抛物线上有一点P，使 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
（3）若点M为抛物线上一动点，试探究在直线AF上是否存在一点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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27. (2022·岚山模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为E，交 $\text{[math]}$ 于点D，过点P作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为Q，若 $\text{[math]}$ ，求m的值；
（3）如图2，将直线 $\text{[math]}$ 沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线 $\text{[math]}$ 于点D，是否存在一点P，使 $\text{[math]}$ 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．

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28. (2022·新会模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）在抛物线对称轴上找点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；（提醒满足条件的点 $\text{[math]}$ 可能不只一个）
（3）点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线与抛物线相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大时，请你说明四边形 $\text{[math]}$ 的形状．