如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点. （Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

1. (2019·乌鲁木齐模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点.

（Ⅰ）求证 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2021·渭南模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，定点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．
（Ⅰ）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值．

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2. (2021·江西模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）已知点D在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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3. (2022·北京) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
（I）求 $\text{[math]}$ ：

（II）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

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1. (2022·萍乡模拟) 如图，在水平放置的直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .以 $\text{[math]}$ 所在直线为轴，将 $\text{[math]}$ 向上旋转角 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角余弦值不超过 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的范围.
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2. (2021·安徽模拟) 已知在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，若正视图方向与向量 $\text{[math]}$ 的方向相同时，四棱锥 $\text{[math]}$ 的正视图为三角形 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若三角形 $\text{[math]}$ 为直角三角形，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.
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3. (2023·山西模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，设过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上不同于点A的任意一点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，问是否存在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的某种排列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
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1. (2022·浙江模拟) 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. (2023·茂名模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若 $\text{[math]}$ 的内心到y轴的距离不小于 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的离心率取值范围是.

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3. (2022·昆明模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则满足条件的一个向量 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024高一下·武鸣月考) 已知三角形ABC中，内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角B；
2. （2）若b＝2，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
3. （3）若b＝2，求三角形ABC面积的最大值．
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2. (2022高二上·辽宁月考) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形， $\text{[math]}$ ， BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为BS上一点，且BE＝2ES．
1. （1）证明：直线 $\text{[math]}$ 平面ACE；
2. （2）求直线AS与平面ACE所成角的余弦值．
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3. (2023·吉林模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 的形状；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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1. (2022·上海) 已知双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，双曲线上右支上有任意两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 恒成立，则a的取值范围是

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2. (2021·新高考Ⅱ卷) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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3. (2022·全国乙卷) 在正方体 $\text{[math]}$ 中，E，F分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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