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备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：概率与统计

更新时间：2024-02-22 浏览次数：12 类型：三轮冲刺

一、解答题

1. (2024·安徽模拟) 第 $\text{[math]}$ 届世界杯于 $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日到 $\text{[math]}$ 月 $\text{[math]}$ 日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
1. （1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 $\text{[math]}$ 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数 $\text{[math]}$ 的分布列和期望；
2. （2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外 $\text{[math]}$ 人中的 $\text{[math]}$ 人，接球者接到球后再等可能地随传向另外 $\text{[math]}$ 人中的 $\text{[math]}$ 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第 $\text{[math]}$ 次传球之前球在甲脚下的概率为 $\text{[math]}$ ，易知 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 试证明： $\text{[math]}$ 为等比数列；
  $\text{[math]}$ 设第 $\text{[math]}$ 次传球之前球在乙脚下的概率为 $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．
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2. (2024·潍坊期末) 某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为 $\text{[math]}$ ，摸取其余3种风筝的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为 $\text{[math]}$ 分，求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望；
2. （2）假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为 $\text{[math]}$ 中的任意一个数，记乙累计得 $\text{[math]}$ 分的概率为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ .
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3. (2023高三上·广州月考) 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神. 甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元.
1. （1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开. 当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列；
2. （2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒?
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4. (2023高三上·东莞月考) 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 $\text{[math]}$ 份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验 $\text{[math]}$ 次.
方式二：混合检验，将其中 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这 $\text{[math]}$ 份的血液全为阴性，因而这 $\text{[math]}$ 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 $\text{[math]}$ 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 $\text{[math]}$ 份再逐份检验，此时这 $\text{[math]}$ 份血液的检验次数总共为 $\text{[math]}$ .假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）现有 $\text{[math]}$ 份血液样本，其中只有 $\text{[math]}$ 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经 $\text{[math]}$ 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
2. （2）现取其中 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 $\text{[math]}$ ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为 $\text{[math]}$ .
  （i）若 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式 $\text{[math]}$ ；
  （ii）若 $\text{[math]}$ ，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
  参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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5. (2023高三上·韶关模拟) 有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号．一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响．
1. （1）求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；
2. （2）若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第 $\text{[math]}$ 个格子的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值．
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6. (2023·江西模拟) 近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机
抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：

喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100
1. （1）是否存99.9\%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?
2. （2） M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从A ， B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜，如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为 $\text{[math]}$ ；如果周一选择B平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为 $\text{[math]}$ ，求张无忌周二选择B平台买菜的概率：
3. （3）用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X ，事件“ $\text{[math]}$ ”的概率为P(X=k)，使得P(X=k)取得最大值k的值
  参考公式 $\text{[math]}$ .其中 $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$
  0.1
  0.05
  0.01
  0.005
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  6.635
  7.879
  10.828
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7. (2023高三上·重庆市月考) 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号 $\text{[math]}$ 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$
2. （2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最 $\text{[math]}$ ，若其数学期望 $\text{[math]}$ 和方差 $\text{[math]}$ 均存在，则对任意正实数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ .根据该不等式可以对事件“ $\text{[math]}$ ”的概率作出下限估计.为了至少有 $\text{[math]}$ 的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数 $\text{[math]}$ 的最小值.
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8. (2023·重庆市模拟) 为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
学生与最近食堂间的距离 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
合计
在食堂就餐
0.15

0.10

0.00
0.50
点外卖

0.20

0.00
0.50
合计
0.20

0.15
0.00
1.00
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为 $\text{[math]}$ （同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
1. （1）补全频率分布表，并根据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过 $\text{[math]}$ 时，认为较近，否则认为较远）：
2. （2）已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
  （i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件 $\text{[math]}$ ，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为随机事件，证明： $\text{[math]}$ ：
  （ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
  ①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得 $\text{[math]}$ 元优惠；
  ②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得 $\text{[math]}$ 元优惠，以后每天中午均获得 $\text{[math]}$ 元优惠（其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为已知数且 $\text{[math]}$ ）.
  校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.
  附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$
  0.10
  0.010
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.706
  6.635
  10.828
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9. (2023高三上·石家庄期中) 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图。
1. （1）求a的值；
2. （2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，
  ，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X ，求X的分布列和数学期望；
3. （3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
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10. (2024高三上·北碚月考) 某校20名学生的数学成绩 $\text{[math]}$ 和知识竞赛成绩 $\text{[math]}$ 如下表：
计算可得数学成绩的平均值是 $\text{[math]}$ ，知识竞赛成绩的平均值是 $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，变量 $\text{[math]}$ 和变量 $\text{[math]}$ 的一组样本数据为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 两两不相同， $\text{[math]}$ 两两不相同.记 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中的排名是第 $\text{[math]}$ 位， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中的排名是第 $\text{[math]}$ 位， $\text{[math]}$ .定义变量 $\text{[math]}$ 和变量 $\text{[math]}$ 的“斯皮尔曼相关系数”（记为 $\text{[math]}$ ）为变量 $\text{[math]}$ 的排名和变量 $\text{[math]}$ 的排名的样本相关系数.
  （i）记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .证明： $\text{[math]}$ ；
  （ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.
  注：参考公式与参考数据.
  $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .
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11. (2023高二上·柳州开学考) 某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级．现从一批该零件中随机抽取40个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如表：

等级

1

2

3

4

5

频率

0.05

m

0.15

0.35

n
1. （1）若抽取等级为5的零件的概率为0.1，求m ， n；
2. （2）在（1）的条件下，从等级为1和5的所有零件中任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
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12. (2023高三上·宾县开学考) strong>．某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：

（1）根据条件完成下列 $\text{[math]}$ 列联表：

	愿意	不愿意	总计
男生
女生
总计

（2）根据 $\text{[math]}$ 列联表，依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关；

（3）挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为 $\text{[math]}$ ，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为 $\text{[math]}$ ，且每轮每次挑战是否通过相互独立。记甲通过的关数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

参考公式与数据： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.1	0.05	0.025	0.01
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635

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13. (2024高二上·亳州期末) 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．
1. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
2. （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
3. （3）计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．
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14. (2023高三上·杨村开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是首项为0，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，对任意的正整数 $\text{[math]}$ ，将集合 $\text{[math]}$ 中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为 $\text{[math]}$ ，求证：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
3. （3）对（2）中的 $\text{[math]}$ ，求集合 $\text{[math]}$ 的元素个数.
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15. (2023高二下·鄠邑期末) 在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答.条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式 $\text{[math]}$ ，若____，求：
1. （1）求n；
2. （2）展开式中的常数项.
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16. (2023·新高考Ⅰ卷) 甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.
1. （1）求第2次投篮的人是乙的概率；
2. （2）求第i次投篮的人是甲的概率；
3. （3）已知：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从两点分布，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，记前 $\text{[math]}$ 次 (即从第1次到第 $\text{[math]}$ 次投篮)中甲投篮的次数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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17. (2023高二下·浙江期中) 盒子中有 $\text{[math]}$ 个不同的白球和 $\text{[math]}$ 个不同的黑球.
（注：要写出算式，结果用数字表示）
1. （1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
2. （2）随机一次性摸出 $\text{[math]}$ 个球，使得摸出的三个球中至少有 $\text{[math]}$ 个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
3. （3）将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
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18. (2023·汕头模拟) 已知各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ，并确定最小正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为整数．
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19. (2023高三上·佳木斯开学考) 影响身高的因素主要有以下凡点：第一、遗传，遗传基因直接影响人种、身高，第二、睡眠，身高的增长非常依赖于睡眠的质量，睡眠的时间有保障，晚上分泌的生长激素可以很好地作用于人体的骨骼，使人体增高．第三、营养，营养物质特别是蛋白质、钙、铁等要补充充分，为孩子增长身体提供原料、第四、运动，运动影响儿童身高非常明显，运动可以直接促进生长激素的分泌，使生长激素在夜晚增大分泌，促进食欲，还能保证健康的睡眠等等，对于长高有很大帮助．高中学生由于学业压力，缺少睡眠与运动等原因，导致身高偏矮；但同时也会由于营养增加与遗传等原因，导致身高偏高，某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：
档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
学生得分
50
70
80
90
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布 $\text{[math]}$ ，并调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼.6月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的该校高三30名男生的身高指数频数分布表如下：

档次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指数 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
人数
3
9
12
6
1. （1）试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
2. （2）请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取措施的效果．
  附：参考数据与公式：若 $\text{[math]}$ ，则① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．
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20. (2022高二下·泰州期末) 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
1. （1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记 $\text{[math]}$ 表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ ；
2. （2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为 $\text{[math]}$ ，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数 $\text{[math]}$ 超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及 $\text{[math]}$ 的方差；
3. （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
  参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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21. (2021高二下·武汉期中) 某生物研究所存有一批规格相同的瓶装溶液，部分瓶装溶液中含有细菌 $\text{[math]}$ ，现取出 $\text{[math]}$ 瓶该规格溶液做实验，其中 $\text{[math]}$ 瓶含有细菌 $\text{[math]}$ ，实验需要把含有细菌 $\text{[math]}$ 的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验 $\text{[math]}$ 次；
方案二：混合检验，将 $\text{[math]}$ 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 瓶溶液全部不含有细菌 $\text{[math]}$ ；若检验结果含有细菌 $\text{[math]}$ ，就要对这 $\text{[math]}$ 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为 $\text{[math]}$ .
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）假设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌 $\text{[math]}$ 的概率；
2. （2）现对 $\text{[math]}$ 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌 $\text{[math]}$ 的概率均为 $\text{[math]}$ .若采用方案一，需检验的总次数为 $\text{[math]}$ ，若采用方案二，需检验的总次数为 $\text{[math]}$ .
  ①若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的期望相等，试用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ ，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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22. (2020高三上·潮州期末) 心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.
1. （1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为 $\text{[math]}$ ；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到 $\text{[math]}$ ；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为 $\text{[math]}$ ，求该选手在前3局获胜局数 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望；
2. （2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为锐角 $\text{[math]}$ 的内角，求证： $\text{[math]}$
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