人教版初中数学几何辅助线进阶训练——构造等腰三角形（不含相似...

更新时间：2023-04-27 浏览次数：59 类型：复习试卷

一、阶段一（较易）

1. (2023八下·杭州期中) 如图，在 ▱ ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，AE平分∠FAD，交CD于中点E，连接EF．若∠FAD＝60°，AD＝5，CF＝3，则EF＝．

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2. (2023八下·拱墅月考) 如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022八下·抚远期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点．求 $\text{[math]}$ 的长．

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4. (2022八下·辽阳期末) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为D，E为 $\text{[math]}$ 中点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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5. (2022八下·香坊期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 外，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长．

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6. (2022八下·德阳期中) 如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点．求证：FM⊥DE。

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7. (2021八下·亳州期末) 如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF、CF；
1. （1）求证：EF=CF；
2. （2）若∠BAC=45°，AD=6，求C、E两点间的距离．
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8. (2023·永嘉模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023八上·鄞州期末) 如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 °.

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10. (2022八上·余姚期中) 如图，D为 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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11. (2022八下·重庆市期中) 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC， $\text{[math]}$ 于点P，连接PC，若△PAB的面积为 $\text{[math]}$ ， △PBC的面积为 $\text{[math]}$ ，则△PAC的面积为（） $\text{[math]}$ .

A . 2 B . 2.5 C . 3 D . 4

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二、阶段二（中等）

12. (2022八下·芜湖期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，∠BAC=120°，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则AB的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 6

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13. (2022八下·椒江期末) 如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，对角线AC=8，点E，F，O分别为AD，AB，BD的中点，且EF=5，则点O到AC的距离为．

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14. (2023九下·德化月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的点，且 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.
2. （2）求证： $\text{[math]}$ .
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15. (2023·江北模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，P为边 $\text{[math]}$ 上一点，点E与B关于直线 $\text{[math]}$ 对称，射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点F.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 .

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16. (2023八上·义乌期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的高线，过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形；
2. （2）连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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17. (2023九上·通川期末) 如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE $\text{[math]}$ MN交AD于E，连接EM，CN，DN.
1. （1）求证：DM＝MN；
2. （2）求证：EM $\text{[math]}$ CN.
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18. (2023八上·宁海期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线且分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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19. (2022八上·黄冈月考) 已知：在等边 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边所在直线上的一个动点（ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点均不重合），点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图①，当 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图②，当 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 边上任意一点时，（1）中的结论是否一定成立？请说明理由；
3. （3）若点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的延长线上任一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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20. (2022八上·苍南期中) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 $\text{[math]}$ ， AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E.
1. （1）求证：△ADE是等腰三角形；
2. （2）连结CE交AD于点H，若∠DCE＝45°，求EH的长.
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三、阶段三（较难）

21. (2022八下·禹州期末) 请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点 $\text{[math]}$ ，交DA的延长线于点F.若 $\text{[math]}$ ，则射线BF是∠ABC的一条三等分线.
证明：如图（2），取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴ $\text{[math]}$ ， AD $\text{[math]}$ BC.在Rt△AEF中，点G是EF的中点，∴ $\text{[math]}$ ……
1. （1）任务一：上面证明过程中得出“ $\text{[math]}$ ”的依据是；
2. （2）任务二：完成材料证明中的剩余部分；
3. （3）任务三：如图（3），在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与∠CBE的平分线交于点F，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出BF的长.
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22. (2023·浙江模拟)
1. （1）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别在 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，道路 $\text{[math]}$ 上分别有景点M，N，且 $\text{[math]}$ m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少几m？（结果取整数，参考数据： $\text{[math]}$ ）
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23. (2023八下·西安月考) 如图
1. （1）发现：如图1，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边向外作等边三角形 $\text{[math]}$ 和等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，相交于点 $\text{[math]}$ .
  ①线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为：； $\text{[math]}$ 的度数为.
  
  ② $\text{[math]}$ 可看作 $\text{[math]}$ 经过怎样的变换得到的？.
2. （2）应用：如图2，若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不在一条直线上， $\text{[math]}$ 中的结论①还成立吗？请说明理由；
3. （3）拓展：在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点之间的距离.
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24. (2023八下·福州月考) 请阅读下列材料：已知：如图（1）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D、E分别为线段 $\text{[math]}$ 上两动点，若 $\text{[math]}$ .探究线段 $\text{[math]}$ 三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
1. （1）猜想 $\text{[math]}$ 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
2. （2）当动点E在线段 $\text{[math]}$ 上，动点D运动在线段 $\text{[math]}$ 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
3. （3）已知：如图（3），等边三角形 $\text{[math]}$ 中，点D、E在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，请你找出一个条件，使线段 $\text{[math]}$ 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.
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25. (2023八下·南宁月考)
1. （1）【探究发现】（1）如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上两点，若满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间满足的数量关系是.
2. （2）【类比应用】如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上两点，若满足 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间满足的数量关系，并说明理由.
3. （3）【拓展延伸】在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上两点，若满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.
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26. (2023八上·江北期末) 平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）如图2，点F在对角线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点F作 $\text{[math]}$ 于H，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
3. （3）如图3，线段 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，点R在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的和的最小值以及此时 $\text{[math]}$ 的面积.
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27. (2022八上·海曙期中) 如图，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，下列结论： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 为等腰三角形； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，其中正确结论有（）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

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28. (2022八上·潼南期中) 如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180°
1. （1）若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数
2. （2）当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想.
3. （3）如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果 $\text{[math]}$ ，请直接写出四边形AFDC的面积.
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29. (2022九上·浦城期中)
1. （1）如图1，等腰 $\text{[math]}$ 的直角顶点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上，斜边 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．请利用现在所学的旋转知识，可将 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ ，然后通过证明全等三角形来完成证明．
2. （2）如图2，若等腰 $\text{[math]}$ 的直角顶点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的延长线上，斜边 $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，猜想线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足怎样的数量关系？并证明你的结论；
3. （3）如图3， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为 $\text{[math]}$ 内部一点， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
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30. (2022八下·临海期末) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点（不与端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；
2. （2） ①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
  $\text{[math]}$ 改变 $\text{[math]}$ 的度数， $\text{[math]}$ 的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系，若不改变，请说明理由；
3. （3）如图2，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长．
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