单项选择题(本大题共8小题共40分)
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我国古代著作《庄子・天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”其含义是:一尺长的木棍,每天截去它的一半,永远也截不完.在这个问题中,记第天后剩余木棍的长度为 , 数列的前项和为 , 则使得不等式成立的正整数的最小值为( )
- A、 5
- B、 6
- C、 7
- D、 8
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蹴鞠,又名“蹴球”“蹴圆”等,“蹴”有用脚蹴、踢的含义,“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动,类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点、 , 其中平面 , 则该球的体积为( )
- A、
- B、
- C、
- D、
多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
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如图,四棱锥的底面为正方形,底面 , 则下列结论中正确的是( )
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数列的前项和为 , 已知 , 则下列说法正确的是( )
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已知圆 , 直线 , 则( )
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已知点是圆上的任意一点,点 , 线段的垂直平分线交于点 , 设点的轨迹为曲线 . 直线与曲线交于两点,且点为线段的中点,则下列说法正确的是( )
填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.)
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已知向量 , 若 , 则.
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若抛物线上的点到其焦点的距离为3,则.
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记为等差数列的前项和,公差不为0,若 , 则.
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过抛物线的焦点作圆的两条切线,切点分别为 , 若为等边三角形,则的值为.
解答题(本大题共6小题、共计70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程)
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设等差数列的前项和为 , 且 .
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为参加广元市第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛,某校组织选拔活动,通过两轮比赛最终决定参加市级比赛人选,已知甲同学晋级第二轮的概率为 , 乙同学晋级第二轮的概率为 . 若甲、乙能进入第二轮,在第二轮比赛中甲、乙两人能胜出的概率均为 . 假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响.
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三棱柱中,为中点,点在线段上, . 设 ,
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已知数列中,满足.
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如图为直三棱柱, , 设为的中点.
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已知椭圆的左、右顶点分别为 , 且 , 离心率为为椭圆的右焦点,为坐标原点.