上海市静安区2017-2018学年高三上学期数学教学质量检测...

更新时间：2018-02-07 浏览次数：346 类型：期末考试

一、单选题

1. “抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程为 $\text{[math]}$ ”是“抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点与双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点重合”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则下列一定成立的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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3. (2017·静安模拟) 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）

A . 336种 B . 320种 C . 192种 D . 144种

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4. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 抛物线 $\text{[math]}$ 焦点均在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ 的中心和 $\text{[math]}$ 顶点均为原点 $\text{[math]}$ ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则 $\text{[math]}$ 的左焦点到 $\text{[math]}$ 的准线之间的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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5. 对于集合 $\text{[math]}$ ，定义了一种运算“ $\text{[math]}$ ”，使得集合 $\text{[math]}$ 中的元素间满足条件：如果存在元素 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称元素 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 对运算“ $\text{[math]}$ ”的单位元素．例如： $\text{[math]}$ ，运算“ $\text{[math]}$ ”为普通乘法；存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，所以元素 $\text{[math]}$ 是集合 $\text{[math]}$ 对普通乘法的单位元素．
下面给出三个集合及相应的运算“ $\text{[math]}$ ”：
② $\text{[math]}$ ，运算“ $\text{[math]}$ ”为普通减法；
② $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 阶矩阵， $\text{[math]}$ }，运算“ $\text{[math]}$ ”为矩阵加法；
③ $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是任意非空集合），运算“ $\text{[math]}$ ”为求两个集合的交集．
其中对运算“ $\text{[math]}$ ”有单位元素的集合序号为（）

A . ①② B . ①③ C . ①②③ D . ②③

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二、填空题

6. 若复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ ．

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7. 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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8. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是

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9. 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的值是；

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10. (2017·静安模拟) 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为立方米．

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11. 已知 $\text{[math]}$ 为锐角，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. 设函数 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ 同时满足以下条件：①对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立；② $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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13. 若不等式 $\text{[math]}$ 的解集是区间 $\text{[math]}$ 的子集，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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14. 已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )， $\text{[math]}$ ，若对任意实数 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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15. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ ，在旋转的过程中，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所经过的在正方形 $\text{[math]}$ 内的区域（阴影部分）的面积 $\text{[math]}$ ，那么对于函数 $\text{[math]}$ 有以下三个结论：
① $\text{[math]}$ ；② 对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；
③ 对任意 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ；
其中所有正确结论的序号是；

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三、解答题

16. 将边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ （及其内部）绕 $\text{[math]}$ 旋转一周形成圆柱，如图， $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 的同侧.
1. （1）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的大小.
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17. 设双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为其左右两个焦点．
1. （1）设 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 右支上任意一点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若动点 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的两个焦点 $\text{[math]}$ 的距离之和为定值，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程．
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18. 如图，在海岸线 $\text{[math]}$ 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 $\text{[math]}$ ，该曲线段是函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图像，图像的最高点为 $\text{[math]}$ ．边界的中间部分为长1千米的直线段 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．游乐场的后一部分边界是以 $\text{[math]}$ 为圆心的一段圆弧 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线段 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
2. （2）曲线段 $\text{[math]}$ 上的入口 $\text{[math]}$ 距海岸线 $\text{[math]}$ 最近距离为1千米，现准备从入口 $\text{[math]}$ 修一条笔直的景观路到 $\text{[math]}$ ，求景观路 $\text{[math]}$ 长；
3. （3）如图，在扇形 $\text{[math]}$ 区域内建一个平行四边形休闲区 $\text{[math]}$ ，平行四边形的一边在海岸线 $\text{[math]}$ 上，一边在半径 $\text{[math]}$ 上，另外一个顶点P在圆弧 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求平行四边形休闲区 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时 $\text{[math]}$ 的值．
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19. 设集合 $\text{[math]}$ 存在正实数 $\text{[math]}$ ，使得定义域内任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 中的元素，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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20. 设数列 $\text{[math]}$ 满足：① $\text{[math]}$ ；②所有项 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．
设集合 $\text{[math]}$ ，将集合 $\text{[math]}$ 中的元素的最大值记为 $\text{[math]}$ ．换句话说， $\text{[math]}$ 是
数列 $\text{[math]}$ 中满足不等式 $\text{[math]}$ 的所有项的项数的最大值．我们称数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的
伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．
1. （1）若数列 $\text{[math]}$ 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的伴随数列 $\text{[math]}$ 的前100之和；
3. （3）若数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 常数），试求数列 $\text{[math]}$ 的伴随数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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