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上海市闵行区名校2024届高三上学期开学考试数学试卷

更新时间：2024-01-21 浏览次数：23 类型：开学考试

一、填空题

1. (201920高三上·长宁期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 复数 $\text{[math]}$ 在复平面的第二象限内，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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3. (2023·普陀模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为．

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4. (2018·长宁模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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5. (2020高二下·深圳期中) $\text{[math]}$ 的二项展开式中的常数项为.(用数字作答)

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6. 点 $\text{[math]}$ 都在同一个指数函数的图象上，则 $\text{[math]}$ ．

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7. 一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积 $\text{[math]}$ 和球的体积 $\text{[math]}$ 的比值 $\text{[math]}$ ．

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8. $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，其中 $\text{[math]}$ 为抛物线焦点，直线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$ 为垂足，则 $\text{[math]}$ ．

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9. (2022高三上·宝山模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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10. (2023高三下·上海市开学考) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数 $\text{[math]}$ 的导函数是 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

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11. (2023·黄浦模拟) 若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为．

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12. 设 $\text{[math]}$ 是以1为周期的函数， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的值域为．

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二、单选题

13. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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14. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有共同渐近线，则它们一定有相等的（）

A . 实轴长 B . 虚轴长 C . 焦距 D . 离心率

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15. 设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的函数，若存在两个不等实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，那么下列函数：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；具有性质 $\text{[math]}$ 的函数的个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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16. 已知 $\text{[math]}$ ，若对任意实数 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，则满足条件的有序实数对 $\text{[math]}$ 的个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 无数个

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三、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. 在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，求：
1. （1）异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
2. （2）四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．
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19. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 $\text{[math]}$ 名 $\text{[math]}$ ，调整后研发人员的年人均投入增加 $\text{[math]}$ ，技术人员的年人均投入调整为 $\text{[math]}$ 万元．
1. （1）要使这 $\text{[math]}$ 名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数 $\text{[math]}$ 最多为多少人？
2. （2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数 $\text{[math]}$ 的最大值．
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20. 已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 内一定点， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 两点之间）， $\text{[math]}$ 为坐标原点．
1. （1）当直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，试问 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线方程；
2. （2）若对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，设函数 $\text{[math]}$ ，对于任意的 $\text{[math]}$ ，试确定函数的零点个数，并说明理由．
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