广东省深圳市四校2019-2020学年高二下学期数学期中联考...

更新时间：2020-08-20 浏览次数：123 类型：期中考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则复数z的虚部是（）

A . -i B . -1 C . i D . 1

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3. 已知单位向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数t的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . -2 C . 2 D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 下列命题中，真命题是（）

A . $\text{[math]}$ ； B . 命题“ $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ”； C . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件； D . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内有且仅有两个零点.

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6. 已知正项等比数列{a_n}，若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝（）

A . 12 B . $\text{[math]}$ C . 5 D . 18

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7. 若变量 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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8. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

	空调类	冰箱类	小家电类	其它类
营业收入占比	90.10%	4.98%	3.82%	1.10%
净利润占比	95.80%	$\text{[math]}$	3.82%	0.86%

则下列判断中不正确的是（）

A . 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B . 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C . 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D . 剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低

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9. $\text{[math]}$ 中，点D在线段 $\text{[math]}$ （不含端点）上，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . 8

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10. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为过 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线的一个交点，且 $\text{[math]}$ ，则C的离心率为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.已知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为1，则鳖臑的体积最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 函数 $\text{[math]}$ 是定义在区间 $\text{[math]}$ 上的可导函数，其导函数为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. $\text{[math]}$ 的二项展开式中的常数项为.(用数字作答)

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14. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边与单位圆交于点( $\text{[math]}$ )，则 $\text{[math]}$ =.

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15. A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为.

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三、双空题

16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足 $\text{[math]}$ 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E：y²=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是首项为1，公差为1的等差数列.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为T_n ，求T₂₀₂₀.
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19. 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）证明： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四面体 $\text{[math]}$ 的体积为2，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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20. 2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施.如测量体温、有效隔离等.
附：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考公式与临界值表： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

$\text{[math]}$

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828
1. （1）现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本.据分析，人群体温近似服从正态分布 $\text{[math]}$ .若X表示所采集100个样本的数值在 $\text{[math]}$ 之外的的个数，求 $\text{[math]}$ 及X的数学期望.
2. （2）疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA《美国医学会杂志》研究论文中获得相关数据.请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线AP、BP、BQ的斜率分别记为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 垂直，求实数a的值；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在定义域上有两个极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
  ①求实数a的取值范围；
  
  ②求证： $\text{[math]}$ .
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