2021高考一轮复习第三十四讲圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题-在线组卷

1. (2020高三上·黄浦期末) 已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，椭圆C上一点A（2 $\text{[math]}$ ，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点，点P ， Q是椭圆C上异于点B的任意两点.

（1）求椭圆C的方程；
（2）若BP⊥BQ ，且满足3 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 的点D在y轴上，求直线BP的方程；
（3）若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

2. (2020·宝山模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，其中 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ 是椭圆上一点.

（1）记 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点，若直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离与到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等时，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标；
（2）若点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
（3）设直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值.

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3. (2020高三上·泸县期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ .

（1）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相切，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）设 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相平分（ $\text{[math]}$ 为原点），求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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4. (2020高二上·淮阴期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ,顶点到渐近线的距离为 $\text{[math]}$

（1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程;
（2）设 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 两点在双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.

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5. (2019高二上·宁波期中) 平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个顶点，设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，且位于第一象限，记 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线为 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的值和切线 $\text{[math]}$ 的方程（用 $\text{[math]}$ 表示）
（2）设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与过 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线交于点 $\text{[math]}$ .
（i）求证：点 $\text{[math]}$ 在定直线上；

（ii）设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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6. (2019·全国Ⅱ卷文) 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆C： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的两个焦点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 为坐标原点。

（1）若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，求 $\text{[math]}$ 的离心率；
（2）如果存在点P，使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积等于16，求 $\text{[math]}$ 的值和a的取值范围。

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7. (2019·全国Ⅰ卷文) 已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径。
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。

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8. (2019·普陀模拟) 已知曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线 $\text{[math]}$ 上的任意一点．

（1）当P异于A，B时，记直线PA，PB的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是定值；
（2）设点C满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最大值为7，求 $\text{[math]}$ 的值．

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9. (2020高二上·吉林期末) 设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两个不同的点.

（1）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$

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10. (2019高二上·思明期中) 如图所示，已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上且不在 $\text{[math]}$ 轴上的任意一点，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与椭圆的交点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜线分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
（i）证明： $\text{[math]}$ ；

（ii）问直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由.