上海市黄浦区2020届高三一模（期末)数学试卷

更新时间：2020-04-17 浏览次数：260 类型：期末考试

一、单选题

1. 方程 $\text{[math]}$ 5的解集是（）

A . {2} B . {2，﹣2} C . {1，﹣1} D . {i ， ﹣i}

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2. 将函数y＝sin（4x $\text{[math]}$ ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（）

A . x $\text{[math]}$ B . x $\text{[math]}$ C . x $\text{[math]}$ D . x $\text{[math]}$

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3. 若函数f（x）的定义域为R ，则“f（x）是偶函数”是“f（|x|）＝f（x）对切x∈R恒成立”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 设曲线E的方程为 $\text{[math]}$ 1，动点A（m ， n），B（﹣m ， n），C（﹣m ， ﹣n），D（m ， ﹣n）在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（）

A . ①错，②对 B . ①对，②错 C . ①②都错 D . ①②都对

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二、填空题

5. 设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝.

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6. 已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R ， i为虚数单位）为纯虚数，则a＝.

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7. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到准线的距离是．

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8. 在（ $\text{[math]}$ 的展开式中，x的系数是．（用数字作答）

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9. 已知 $\text{[math]}$ 为第二象限的角, $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ .

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10. 母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为.

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11. 若无穷等比数列{a_n}满足：a₂a₃＝a₄ ， a₅ $\text{[math]}$ ，（n∈N*），则数列{a_2n_﹣₁}的所有项的和为.

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12. 四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是.（结果用数字作答）

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13. 已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的两条渐近线的夹角为.

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14. 已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log₂（2^x+2），则满足f（x）＞log₂3＞g（x）的x的取值范围是.

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15. 设函数y＝f（x）的定义域为D ，若对任意的x₁∈D ，总存在x₂∈D ，使得f（x₁）•f（x₂）＝1，则称函数f（x）具有性质M.下列结论：①函数y＝x³﹣x具有性质M；②函数y＝3^x+5^x具有性质M；③若函数y＝log₈（x+2），x∈[0，t]时具有性质M ，则t＝510；④若y $\text{[math]}$ 具有性质M ，则a＝5.其中正确结论的序号是.

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16. 已知正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，则σ的取值范围是.

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三、解答题

17. 在三棱锥P﹣ABC中，已知PA ， PB ， PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.
1. （1）求点A到直线BC的距离；
2. （2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB ， AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
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18. 在△ABC中，a ， b ， c分别是角A ， B ， C的对边，且acosC＝（2b﹣c）cosA．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 3，求△ABC的面积；
2. （2）若∠B＜∠C ，求2cos²B+cos²C的取值范围.
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19. 某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y（微克/毫升）与给药时间x（小时）之间的若干组数据，并由此得出y与x之间的一个拟合函数y＝40（0.6^x﹣0.6^2x）（x∈[0，12]），其简图如图所示.试根据此拟合函数解决下列问题：
1. （1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；
2. （2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）.
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20. 已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，椭圆C上一点A（2 $\text{[math]}$ ，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点，点P ， Q是椭圆C上异于点B的任意两点.
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）若BP⊥BQ ，且满足3 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 的点D在y轴上，求直线BP的方程；
3. （3）若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.
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21. 对于数列{a_n}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{a_n}为P数列.
1. （1）若{a_n}的前n项和S_n＝3ⁿ+2，试判断{a_n}是否是P数列，并说明理由；
2. （2）设数列a₁ ， a₂ ， a₃ ， …，a₁₀是首项为﹣1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；
3. （3）设无穷数列{a_n}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{b_n}，{c_n}是从{a_n}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T₁ ， T₂ ，求{a_n}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a＞0且T₁＝T₂ ，则{a_n}不是P数列”.
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