2024年中考数学热点探究十五学具操作问题

更新时间：2024-04-27 浏览次数：25 类型：二轮复习

一、选择题（每题2分，共20分）

1. (2024九下·郧西期中) 一块三角板和一根直尺的位置如图所示，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·宁夏) 把量角器和含 $\text{[math]}$ 角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度 $\text{[math]}$ 处，短直角边过量角器外沿刻度 $\text{[math]}$ 处（即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．则阴影部分的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022九上·武义期末) 如图，在Rt $\text{[math]}$ ABC中，∠CAB＝36°，斜边AC与量角器的直径重合（A点的刻度为0），将射线BF绕着点B转动，与量角器的外圆弧交于点D，与AC交于点E，若 $\text{[math]}$ ABE是等腰三角形，则点D在量角器上对应的刻度为（）

A . 72° B . 144° C . 36°或72° D . 72°或144°

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4. (2023·衡水模拟) 如图，将直尺、含 $\text{[math]}$ 的直角三角尺和量角器按如图摆放， $\text{[math]}$ 角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（）．

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 6 D . $\text{[math]}$

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5. (2023·海淀模拟) 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的 $\text{[math]}$ 刻度线与三角板的底边平行 $\text{[math]}$ 将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点 $\text{[math]}$ 处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为 $\text{[math]}$ ，那么被测物体表面的倾斜角 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023九上·平山期中) 如图，一个零刻度落在点A的量角器（半圆O），其直径为AB ，一等腰直角三角板MNB绕点B旋转，斜边BN交半圆O于点C ， BM交半圆O于点D ，点C在量角器上的读数为 $\text{[math]}$ .关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）
结论Ⅰ： $\text{[math]}$ ；
结论Ⅱ：当边MN与半圆O相切于点E（点E在量角器上的读数为 $\text{[math]}$ ）时， $\text{[math]}$

A . 只有结论Ⅰ对 B . 只有结论Ⅱ对 C . 结论Ⅰ、Ⅱ都对 D . 结论Ⅰ、Ⅱ都不对

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7. 如图，是利用一把直尺和一块三角尺ABC摆放并移动后得到的图形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点A对应直尺的刻度为12，将该三角尺沿直尺边缘平移，使 $\text{[math]}$ 移动到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 对应直尺的刻度为0，则点C到 $\text{[math]}$ 的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 将一副直角三角板和一把宽度为2的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上.这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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9. (2023九上·河北月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，直尺的一边与 $\text{[math]}$ 重合，另一边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 处的读数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若直尺宽 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2017·河北模拟) 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）

A . B . C . D .

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二、填空题（每题2分，共12分）

11. (2022九上·桐乡市期中) 如图，两个大小不同的量角器，小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不请，现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使 $\text{[math]}$ 与C重合，如果弧 $\text{[math]}$ 与弧 $\text{[math]}$ 的公共点E在大量角器上对应的度数为 $\text{[math]}$ ，那么在小量角器上对应的度数为.

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12. 如图，量角器的零度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为120°，则该直尺的宽度为cm．

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13. (2023九上·朝阳期中) 如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若 $\text{[math]}$ ，点Q ，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是．

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14. (2021·滦州模拟) 如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则 $\text{[math]}$ °．

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15. (2023九上·滨江开学考) 如图，将一把矩形直尺 $\text{[math]}$ 和一块含 $\text{[math]}$ 角的三角板 $\text{[math]}$ 摆放在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，三角板的直角边 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象恰好经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 若直尺的宽 $\text{[math]}$ ，三角板的斜边 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2022九上·温州月考) 图1是某个零件横截面的示意图，已知AB＝CD，∠B＝∠C，为了求出BC的长度，小艺将一根直尺按图2，图3，图4的三种方式摆放，所测得的具体数据（单位：cm）如图所示，则直尺宽为 cm，BC为 cm．

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三、实践探究题（共10题，共88分）

17. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：

填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度

活动过程

【步骤一】设计测量方案

小组成员讨论后，画出如图(1)的测量草图，确定需测的几何量.

【步骤二】准备测量工具

自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示.准备皮尺.

【步骤三】实地测量并记录数据

如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点.

如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ▲ .

测出眼睛到地面的距离AB. $\text{[math]}$

测出所站地方到古树底部的距离BD. $\text{[math]}$

【步骤四】计算古树高度CD.(结果精确到0.1m)

(参考数据：sin40°=0.643，cos40°=0.766，tan40°=0.839)

请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】.

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18. (2023·吉林模拟) 【问题背景】
在一次数学实践活动中，张老师将班级学生分成“扶摇”、“惊鸿”、“骐骥”三个小组，运用直角三角尺测量三个不同直尺的宽度 $\text{[math]}$ 直尺的每两个长刻度之间的长度是 $\text{[math]}$
【实践探究】
1. （1）扶摇组同学用含 $\text{[math]}$ 的三角尺，提出按照图 $\text{[math]}$ 的方案，直尺与直角三角尺 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 重合，另一边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的读数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该直尺的宽度 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ；
2. （2）惊鸿组同学用含 $\text{[math]}$ 的三角尺，提出按照图 $\text{[math]}$ 的方案，直尺与直角三角尺 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 重合，另一边分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的读数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求该直尺的宽度；
3. （3）骐骥组同学用含 $\text{[math]}$ 的三角尺，提出按照图 $\text{[math]}$ 的方案，直尺与直角三角尺 $\text{[math]}$ 斜 $\text{[math]}$ 平行，直分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的读数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出该直尺的宽度 $\text{[math]}$ 结果精确到 $\text{[math]}$ 参考数据： $\text{[math]}$
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19. (2024·浙江模拟) 数学实验
生活中，常常遇到需要测量物体长度、角度的情况，小聪同学思考：是否有既能测量长度，又能测量角度的多功能直尺？
小聪想自己做这样一把尺子：如图1，小聪准备了两条宽度为3cm的矩形纸带，并在点C处用可以转动的纽扣固定．小聪借助直角三角板的特殊度数，比较容易的找到表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置．那么另外的度数怎样标出呢？小聪开始思考原理：
1. （1）如图2，小聪将两条纸条叠合形成的四边形ABCD画出来，并分别作边DA ， BA的延长线AF ， AH ．小聪发现：①四边形ABCD是菱形；②∠FAH＝2∠ACD ．请证明这两个结论．
2. （2）小聪发现，在（1）的基础上，表示 90°，60°，45°，30°角的刻度位置可以用三角形的边角关系表示出来，当∠FAH＝90°时，∠ACD＝45°，则有CE＝AE＝3cm ，因此表示 90°角的位置就可以通过计算找到．请利用小聪的思路，算出表示 60°角的位置与点C的距离（精确到0.01）．（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.414， $\text{[math]}$ ≈1.732， $\text{[math]}$ ）．
3. （3）在以上思路启发下，小聪发现，在（1），（2）的基础上，对于任意位置的刻度的表示，只要完成三步任务：第一步，测量出直角△ACE 的直角边CE的长度m；第二步，计算出 $\text{[math]}$ 的值，这个值恰好是∠α 的正切值，即tanα＝ $\text{[math]}$ ；第三步，利用计算器算出α的值，并在尺子上标出刻度即可．做出的尺子如图3所示．
  请根据以上思路，计算出图2中CE的长度分别为4，2，1时，表示的角的刻度是多少（精确到分）．
  （参考数据：tan4°12'≈0.34，tan4°18'≈0.752，tan56°18'≈1.4994，tan56°24'≈1.5051，tan71°30'≈2.989，tan71°36'≈3.006）．
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20. (2024·靖宇模拟) 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE ， DF分别与边AB ， AC交于点M ， N ．
1. （1）猜想证明：
  如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
2. （2）问题解决：
  如图②，在三角板旋转过程中，当∠B＝∠MDB时，求线段CN的长．
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21. (2023·吉林) 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：

填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度

活动过程

【步骤一】设计测量方案

小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具

自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．

如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角 $\text{[math]}$ ．

测出眼睛到地面的距离 $\text{[math]}$ ．

测出所站地方到古树底部的距离 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ．

【步骤四】计算古树高度 $\text{[math]}$ ．（结果精确到 $\text{[math]}$ ）

（参考数据： $\text{[math]}$ ）

请结合图①、图④和相关数据写出 $\text{[math]}$ 的度数并完成【步骤四】．

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22. (2024九上·大安期末) 有一根长方形直尺宽为4cm，长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角板，它的斜边长为16cm，如图，将直尺的宽DE与直角三角板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿射线AB方向平移，设平移的长度为xcm，且直尺和三角板重叠部分的面积为Scm² ，
1. （1）当直角顶点C落在直尺的长上时，x=cm；
2. （2）当0＜x＜12时，求S与x之间的函数关系式；
3. （3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm²？若存在直接写出x的值，若不存在，请说明理由。
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23. (2023·宁波) 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
1. （1）如图2，在 $\text{[math]}$ 点观察所测物体最高点 $\text{[math]}$ ，当量角器零刻度线上 $\text{[math]}$ 两点均在视线 $\text{[math]}$ 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 $\text{[math]}$ ，设仰角为 $\text{[math]}$ ，请直接用含 $\text{[math]}$ 的代数式示 $\text{[math]}$ ．
2. （2）如图3，为了测量广场上空气球 $\text{[math]}$ 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 $\text{[math]}$ 分别测得气球 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，地面上点 $\text{[math]}$ 在同一水平直线上， $\text{[math]}$ ，求气球 $\text{[math]}$ 离地面的高度 $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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24. (2022·兖州模拟) 如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
1. （1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
2. （2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
3. （3）如图3，当AB和DE重合时，求证： $\text{[math]}$ =CG·CE．
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25. (2024·南宁模拟) 应用与探究
【情境呈现】
在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．他把三角板 $\text{[math]}$ 固定好后，将三角板 $\text{[math]}$ 从图1所示的位置开始绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，每秒转动 $\text{[math]}$ ，设转动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【问题应用】请直接写出图1中线段 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）如图2，在三角板 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，连接 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，求 $\text{[math]}$ 值；
3. （3）【问题探究】如图3，在三角板 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否存在最大值？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值，并直接写出此时的 $\text{[math]}$ 值：若不存在，请说明理由．
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26. (2023九上·西安开学考) 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动．
1. （1）操作判断
  操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；
  操作二：将三角板 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．
  根据以上操作，填空：
  ①图1中四边形 $\text{[math]}$ 的形状是；
  ②图2中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；四边形 $\text{[math]}$ 的形状是．
2. （2）迁移探究
  小航将一副等腰直角三角板换成一副含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板，继续探究，已知三角板 $\text{[math]}$ 边长为 $\text{[math]}$ ，过程如下：
  将三角板 $\text{[math]}$ 按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形 $\text{[math]}$ 的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出 $\text{[math]}$ 的长．
3. （3）拓展应用
  在（2）的探究过程中：
  
  ①当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长；
  
  ②直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．
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