①,
,则
;
②,
,则
;
③,
,则
.
下面是小丽的探究过程,请补充完整:
特例:
特例:
特例:
特例:
填写一个符合上述运算特征的例子
;
如果为正整数,用含
的式子表示上述的运算规律为:;
= ;
;
善于思考的小明在学习《实数》一章后,自己探究出了下面的两个结论:
① ,
,
和
都是9×4的算术平方根,
而9×4的算术平方根只有一个,所以 =
.
② ,
,
和
都是9×16的算术平方根,
而9×16的算术平方根只有一个,所以 .
请解决以下问题:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如 . 善于思考的小明进行了以下探索:
设(其中a、b、m、n均为整数),则有
.
,
. 这样小明就找到了一种把类似
的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
例如:3+2=(1+
)2 , 善于思考的小敏进行了以下探索:
当a、b、m、n均为整数时,若a+b=(m+n
)2 , 则有a+b
=m2+2n2+2mn
.
a=m2+2n2 , b=2mn.这样小敏就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题:
数学上有一种根号内又带根号的数,它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号.例如: .
解决问题:
①:,②:,③.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
【主题探究】在学习二次根式的过程中,某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系.例如: , 可得
与
互为倒数.
即 ,
.
类似的, ,
,
,
.
【启发应用】请根据以上规律,解决下列问题:
材料一:两个含有二次根式而非零的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式.
例如: ,
, 我们称
的一个有理化因式是
,
的一个有理化因式是
.
材料二:如果一个代数式的分母中含有二次根式,通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式,使分母中不含根号,这种变形叫做分母有理化.
例如: ,
.
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题:
①;
②;
下面是小丽的探究过程,请补充完整:
特例1:
特:2:
特:3:
特例4:.(填写一个符合上述运算特征的例子);
如果n为正整数,用含n的式子表示上述的运算规律为:;
请仿照上述方法探索并解决下列问题:
【问题解决】
化简= .
设(其中a、b、m、n均为正整数),则有
,
∴a=m2+2n2 , b=2mn.
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
方法介绍:
经过 步操作(
为正整数)不断寻找有理数
,
,使得
,并且让
的值越来越小,同时利用数轴工具将任务几何化,直观理解通过等分线段的方法不断缩小
对应的点
所在线段的长度(二分法)
思路分析:
在数轴上记 ,
对应的点分别为
,
和
的平均数
对应线段
的中点(记为
).通过判断
还是
,得到点
是在二等分后的“左线段
”上还是“右线段
”上,重复上述步骤,不断得到
,从而得到
更精确的近似值.
具体操作步骤及填写“阅读活动任务单”:
①寻找左右界值:先寻找两个连续正整数 ,使得
.
因为 ,所以
,那么
,
,线段
的中点
对应的数
.
| | | | | 点 | 得出更精确的 |
1 | 2 | 3 | 2.5 | | 点 | |
2 | 2.5 | 3 | 2.75 | | 点 | |
3 | 2.5 | 2.75 | 2.625 | | ||
4 |
②二分定位:判断点 在“左线段
”上还是在“右线段
”上.
比较7与 的大小,从而确定
与
的大小;
因为 >
(填 “>”或“<”),得到点
在线段
上(填“
”或“
”).
请继续仿照以上步骤操作下去,补全“阅读活动任务单”:
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
y |
0 |
|
m |
|
|
|
|
1 |
|
|
… |