广东省广州市三校（南实、铁一、广外）2023-2024学年高...

更新时间：2024-01-08 浏览次数：14 类型：期中考试

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. “方程 $\text{[math]}$ 表示椭圆”的一个必要不充分条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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4. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，则圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的公切线的条数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为 $\text{[math]}$ ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知 $\text{[math]}$ ，结果取整数）（）

A . 23天 B . 33天 C . 43天 D . 50天

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6. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为 $\text{[math]}$ ，两底面对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，水深为 $\text{[math]}$ 则玻璃容器里面水的体积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的虚部为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 将 $\text{[math]}$ 对应的向量 $\text{[math]}$ 为坐标原点 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到的向量对应的复数为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的共轭复数 $\text{[math]}$

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10. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . 方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内有 $\text{[math]}$ 个根

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11. (2022·临沂模拟) 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点 $\text{[math]}$ ，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（）

A . 椭圆的长轴长为 $\text{[math]}$ B . 线段AB长度的取值范围是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 面积的最小值是4 D . $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$

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12. 如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 异面 B . 不存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不变 D . 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正实数，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 互相垂直，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. 如图，电路中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三个电子元件正常工作的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该电路正常工作的概率．

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15. 设点 $\text{[math]}$ 是圆： $\text{[math]}$ 上的动点，定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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16. 如图是数学家 $\text{[math]}$ 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型 $\text{[math]}$ 在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球 $\text{[math]}$ ，球 $\text{[math]}$ 的半径分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，球心距离 $\text{[math]}$ ，截面分别与球 $\text{[math]}$ ，球 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ 是截口椭圆的焦点 $\text{[math]}$ ，则此椭圆的离心率等于．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且圆心 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的另一个交点是 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者 $\text{[math]}$ 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛 $\text{[math]}$ 从所有答卷中随机抽取 $\text{[math]}$ 份作为样本，将样本的成绩 $\text{[math]}$ 满分 $\text{[math]}$ 分，成绩均为不低于 $\text{[math]}$ 分的整数 $\text{[math]}$ 分成六段： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得到如图所示的频率分布直方图．
1. （1）求频率分布直方图中 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$
2. （2）求样本成绩的第 $\text{[math]}$ 百分位数 $\text{[math]}$
3. （3）已知落在 $\text{[math]}$ 的平均成绩是 $\text{[math]}$ ，方差是 $\text{[math]}$ ，落在 $\text{[math]}$ 的平均成绩为 $\text{[math]}$ ，方差是 $\text{[math]}$ ，求两组成绩的总平均数 $\text{[math]}$ 和总方差 $\text{[math]}$ ．
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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20. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 三个内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边，且有 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ C.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的中心为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点，线段 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切于该线段的中点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）椭圆 $\text{[math]}$ 上是否存在三个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形？若存在，求出直线 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在 $\text{[math]}$ 请说明理由．
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22. 中国古代数学名著 $\text{[math]}$ 九章算术 $\text{[math]}$ 中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个全等的等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点时，求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时 $\text{[math]}$ 包含端点 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值的取值范围．
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