【学习新知】:
射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图1,是平面镜,若入射光线与水平镜面夹角为
, 反射光线与水平镜面夹角为
, 则
.
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距.如图2当一束“激光”射入到平面镜
上、被平面镜
反射到平面镜
上,又被平面镜
反射后得到反射光线
. 回答下列问题:
①当 ,
(即
)时,求
的度数.
②当时,任何射入平面镜
上的光线
经过平面镜
和
的两次反射后,入射光线
与反射光线
总是平行的.请你根据所学过的知识及新知说明.
(提示:三角形的内角和等于)
如图3,有三块平面镜 ,
,
, 入射光线
经过三次反射,得到反射光线
, 已知
,
, 若要使
, 求
的度数.
①若时,求
的度数;
②当为何值时,使线段
最短;
解:如图(a)所示,过点M作MN∥AB.
∵AB∥CD,
∴MN∥CD.
∴∠EMN= CAEM=45°,∠FMN=∠CFM= 25°.
∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70°.
如图①,直线AB∥CD,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.请把下面的证明过程补充完整:
证明:过点E作EF∥AB,
∵AB∥DC (已知)
∴EF∥DC( ).
∴∠C=∠CEF.( ).
∵EF∥AB,
∴∠B=∠BEF(同理).
∴∠B+∠C= ▲ (等量代换).即∠B+∠C=∠BEC.
如果点E运动到图②所示的位置,其他条件不变,说明:∠B+∠C+∠BEC=360°.
【操作感知】
第一步:对折矩形纸片 , 使
与
重合,得到折痕
, 把纸片展开.
第二步;再一次折叠纸片,使点落在
上,并使折痕经过点
, 得到折痕
, 同时得到线段
(如图1).
将正方形纸片按照
操作感知
的方式操作,并延长
交
于点
, 连接
.当点
在
上时,
, 求正方形的边长.
如图①,两条长度相等的线段和
相交于O点,
, 直线
与直线
的夹角为
, 求线段
、
、
满足的数量关系.
分析:考虑将、
和
集中到同一个三角形中,以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系:
如图②,作且
, 则四边形
是平行四边形,从而
;
由于 ,
, 所以
是等边三角形,故
;
通过平行又求得.
在中,研究三条线段的大小关系就可以了.
在初中数学教材中有这样一个基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图1,直线 , 直线m和直线n分别与直线
和直线
相交于点A,点B,点F,点D,直线m和直线n相交于点E,则
;
【探究发现】
如图2,在中,
,
, 点D在边
上(不与点B,点C重合),连接
, 点E在边
上,
.
小腾遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长.
小腾发现,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,经过推理和计算能够使问题得到解决,如图2.
如图3,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2,BE=2ED,求BC的长.
解:过点A作 ,
▲ ,
▲ ,
,
.
解题反思:从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的功能,将、
、
“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
①如图3,点B在点A的左侧,若 , 求
的度数.
②如图4,点B在点A的右侧,且 ,
.若
, 求
度数.(用含n的代数式表示)