广东省广州市天河区2023届高三数学二模试卷

更新时间：2023-03-20 浏览次数：138 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 若 $\text{[math]}$ 的展开式的各项系数和为8，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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4. (2023高三上·南山期末) 已知随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下：
$\text{[math]}$
1
2
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高三上·清远期末) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调，则 $\text{[math]}$ 的取值集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三上·南山期末) 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$ ，最大值为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高二下·虹口期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点与抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 $\text{[math]}$ ．则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 恒成立，若 $\text{[math]}$ 恰好有1个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023高三上·南山期末) 设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （i为虚数单位），则下列结论正确的为（）

A . $\text{[math]}$ 是纯虚数 B . $\text{[math]}$ 对应的点位于第二象限 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023高三上·南山期末) 下列等式能够成立的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，则（）

A . 圆 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称 B . 圆 $\text{[math]}$ 被直线 $\text{[math]}$ 截得的弦长为 $\text{[math]}$ C . 圆 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的圆为 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值为5

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12. (2023高三上·南山期末) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则下列结论正确的为（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 可能与平面 $\text{[math]}$ 相交 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 与三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积之和为定值 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角最大 D . 当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 函数 $\text{[math]}$ 的图象在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为

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14. 现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有种．（用数字作答）

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15. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. (2022·南开模拟) 在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点E和F分别在线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 有最小值为．

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四、解答题

17. (2023高三上·南山期末) 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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18. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若角 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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19. (2023高三上·清远期末) 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面EAC.
2. （2）若四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.
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20. 某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．
x
100
150
200
300
450
t
90
65
45
30
20
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记 $\text{[math]}$ 为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求 $\text{[math]}$ 的概率分布列；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，由散点图判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的结果精确到0.1）
3. （3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x）
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21. (2023高三上·南山期末) 已知直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点时，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）记直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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22. (2023高三上·南山期末) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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