湖南省长沙市四校联考2022-2023学年高二上学期数学9月...

更新时间：2022-09-30 浏览次数：96 类型：月考试卷

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . －2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则下列不等式成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在平面四边形 $\text{[math]}$ 中，满足 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 是（）

A . 矩形 B . 正方形 C . 菱形 D . 梯形

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4. 《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两条不重合直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的形状一定是（）

A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 等腰直角三角形 D . 等腰或直角三角形

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7. (2021高二上·汕头开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数，且在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，若实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2019高三上·石城月考) 在 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的三等分点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021高一下·惠州期末) 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 为钝角三角形 B . $\text{[math]}$ 为锐角三角形 C . $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021高二上·汕头开学考) 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . $\text{[math]}$ 图像关于原点对称

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11. (2021高二上·汕头开学考) 将边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折成直二面角 $\text{[math]}$ ，如图所示，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 四面体 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$ C . 四面体 $\text{[math]}$ 的外接球的体积为 $\text{[math]}$ D . 过 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 平行的平面截四面体 $\text{[math]}$ 所得截面的面积为 $\text{[math]}$

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12. (2021高二上·汕头开学考) 已知定义在R上的函数 $\text{[math]}$ 的图象连续不断，若存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 对任意的实数x成立，则称 $\text{[math]}$ 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（）

A . 常值函数 $\text{[math]}$ 为回旋函数的充要条件是 $\text{[math]}$ ； B . 若 $\text{[math]}$ 为回旋函数，则 $\text{[math]}$ ； C . 函数 $\text{[math]}$ 不是回旋函数； D . 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的回旋函数，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上至少有2015个零点.

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三、填空题

13. (2022高一下·长沙期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为

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14. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影数量等于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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四、双空题

15. (2022高一下·南通期末) 已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使得点 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ 的位置，得到四面体 $\text{[math]}$ .当二面角 $\text{[math]}$ 的大小为120°时，四面体 $\text{[math]}$ 的体积为；当四面体 $\text{[math]}$ 的体积为1时，以 $\text{[math]}$ 为球心， $\text{[math]}$ 的长为半径的球面被平面 $\text{[math]}$ 所截得的曲线在 $\text{[math]}$ 内部的长为.

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16. (2022高一下·长沙期末) 三棱锥 $\text{[math]}$ 中，顶点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 的射影恰好是 $\text{[math]}$ 内切圆的圆心，若三个侧面的面积分别为12，16，20，底面 $\text{[math]}$ 的最长边长为10，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为；三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的直径是.

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五、解答题

17. 如图所示，三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点．
1. （1）用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的位置，若不存在，说明理由．
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围；
2. （2）是否存在实数m，使得函数 $\text{[math]}$ 在[a，b]上的值域为[2a，2b]，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
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19. 如图所示，已知 $\text{[math]}$ 是半径为 $\text{[math]}$ ，中心角为 $\text{[math]}$ 的扇形， $\text{[math]}$ 为弧 $\text{[math]}$ 上一动点，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求矩形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的最大值及取得最大值时的 $\text{[math]}$ 值；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其面积 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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20. 某学习小组在寒假社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格 $\text{[math]}$ （元）与时间x（天）的函数关系近似满足 $\text{[math]}$ （k为正常数）．该商品的日销售量 $\text{[math]}$ （个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x（天）
10
20
25
30
$\text{[math]}$
110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
1. （1）求k的值；
2. （2）给出两种函数模型：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 $\text{[math]}$ 与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
3. （3）求该商品的日销售收入 $\text{[math]}$ （元）的最小值．
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21. (2021高二上·汕头开学考) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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22. (2022高一下·长沙期末) 已知区间D，若两个函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则称函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在区间D上的超k倍函数.
1. （1）已知命题“区间 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在区间D上的超2倍函数”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的超k倍函数，求实数k的取值范围；
3. （3）已知区间 $\text{[math]}$ ，常数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 在区间D上的超4倍函数，求实数c的取值范围.
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