山西省太原市2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

更新时间：2022-04-28 浏览次数：60 类型：期中考试

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，那么下列 $\text{[math]}$ 的取值中，能使 $\text{[math]}$ 成立是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”时，有如下三个步骤：
① $\text{[math]}$ ，这与三角形内角和为 $\text{[math]}$ 矛盾，故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设 $\text{[math]}$ 有两个直角，不妨设 $\text{[math]}$ .上述步骤正确的顺序为（）

A . ③②① B . ①②③ C . ①③② D . ③①②

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . 2 C . 4 D . -4

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5. (2021高二下·河池月考) 函数 $\text{[math]}$ 的单调递减区间为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得到空间中下列猜想：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．其中结论正确的是（）

A . ①②④ B . ②③④ C . ②③ D . ①④

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 为可导偶函数， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数），若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . -1 C . 2 D . 0

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8. 已知甲､乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶，甲车､乙车的速度曲线分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （如图所示）.那么对于图中给定的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上两速度曲线所成面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上两速度曲线与 $\text{[math]}$ 所成面积为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，下列判断中一定正确的是（）

A . 在 $\text{[math]}$ 时间内，甲乙两车行驶的路程相同 B . 在 $\text{[math]}$ 时间内，甲车行驶的路程比乙车远 C . 在 $\text{[math]}$ 时刻，甲乙两车的加速度相同 D . 在 $\text{[math]}$ 时刻后，甲车行驶的路程比乙车远

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9. 某单位在一次团建时，组织了一次寻宝活动，参加活动的人从 $\text{[math]}$ 点出发，到 $\text{[math]}$ 点停止，途中要在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三个藏宝地点找到宝物.已知各点之间的路线距离（单位：百米）见下表.若每个藏宝地点只经过一次，那么寻宝路线的最短距离是（）

A
B
C
D
E
A
0
5
4
5
6
B
5
0
7
6
2
C
4
7
0
9
8.6
D
5
6
9
0
5
E
6
2
8.6
5
0

A . 23 B . 22 C . 21 D . 20.6

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10. 已知直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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11. 某公司制造了一个人工智能机器人，程序设计师的程序是让机器人每一秒前进一步或后退一步，并且以先前进3步，然后再后退2步的规律前进.如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方向前进（1步的距离为一个单位长度），令 $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 秒机器人所在位置的坐标，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 403 B . 404 C . 405 D . 406

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12. 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则下列判断正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2020高三上·闵行期末) 复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数是.

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14. 已知 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，直线 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 外的一条直线，现有下列三个论断：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .请以其中两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

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15. 如图所示曲线是函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分，则图中阴影部分的面积为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ 存在极值，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在第二象限，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 不是实数.
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域．
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19. 已知三个正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项.证明：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2） $\text{[math]}$ .
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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并猜想 $\text{[math]}$ ；
2. （2）用数学归纳法证明你的猜想.
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21. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并猜想 $\text{[math]}$ ；
2. （2）用数学归纳法证明你的猜想；
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若对于任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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23. 已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）是否存在负实数 $\text{[math]}$ ，使得当 $\text{[math]}$ 时函数 $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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