辽宁省沈阳市市级重点协作校2021-2022学年高二上学期数...

更新时间：2021-11-22 浏览次数：103 类型：期中考试

一、单选题

1. 已知空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两夹角均为60°，其模均为1，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，则其焦距为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若直线 $\text{[math]}$ 的一个法向量 $\text{[math]}$ ，则该直线的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 阿基米德(公元前 $\text{[math]}$ 年—公元前 $\text{[math]}$ 年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 $\text{[math]}$ 的对称轴为坐标轴，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，且椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ 则椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知在正四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，椭圆的中心在坐标原点 $\text{[math]}$ 顶点分别是 $\text{[math]}$ ，焦点分别为 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 点，若 $\text{[math]}$ 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，点P在线段D₁E上，点P到直线CC₁的距离的最小值为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2019高二上·黄石月考) 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线称之为三角形的欧拉线.已知 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若其欧拉线方程为 $\text{[math]}$ ，则顶点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的方程可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在四面体 $\text{[math]}$ 中，以上说法正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则可知 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 为△ $\text{[math]}$ 的重心，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若四面体 $\text{[math]}$ 各棱长都为2， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$

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11. 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 $\text{[math]}$ 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 $\text{[math]}$ （离地面最近的点）距地面 $\text{[math]}$ 千米，远地点 $\text{[math]}$ （离地面最远的点）距地面 $\text{[math]}$ 千米，并且 $\text{[math]}$ 三点在同一直线上，地球半径约为 $\text{[math]}$ 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 $\text{[math]}$ ，则

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 $\text{[math]}$ ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是60° D . $\text{[math]}$ 与AC所成角的余弦值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 渐近线方程为 $\text{[math]}$ 且焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的双曲线的离心率是.

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14. 已知在一个 $\text{[math]}$ 的二面角的棱上，如图有两个点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于 $\text{[math]}$ 的线段，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$

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15. 设点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，由点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 轴作垂线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程.

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16. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ ，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ .
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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18. 中心在原点，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为4，离心率之比为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆和双曲线的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是椭圆和双曲线的一个交点，求 $\text{[math]}$ .
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

（Ⅲ）若点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

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20. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为F(c，0)．
1. （1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
2. （2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为 $\text{[math]}$ ，求双曲线的离心率．
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21. (2019高三上·宝坻期中) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；

（Ⅲ）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 值．

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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 焦点在 $\text{[math]}$ 轴，离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与轨迹 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，若以 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过定点 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 经过定点 $\text{[math]}$ ，并求出 $\text{[math]}$ 点的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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