江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期数学期中考试试卷

更新时间：2021-01-19 浏览次数：131 类型：期中考试

一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位）对应的点的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知点 $\text{[math]}$ 是角 $\text{[math]}$ 终边上一点，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在边长为 $\text{[math]}$ 的等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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5. 将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（）

A . 10 B . 12 C . 14 D . 24

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6. 直三棱柱 $\text{[math]}$ 的所有顶点都在同一球面上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该球的表面积为（）

A . 40π B . 21π C . 10π D . 8π

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7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾²+股²=弦²”，设直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恰好是 $\text{[math]}$ 的“勾”“股”（ $\text{[math]}$ 为坐标原点），则此直线 $\text{[math]}$ 恒过定点（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 7 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个平面，则下列条件中是“ $\text{[math]}$ ”成立的必要不充分条件有（）

A . $\text{[math]}$ 内有无数条直线与平行 B . $\text{[math]}$ 内有两条相交直线与 $\text{[math]}$ 平行 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直于同一平面 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平行于同一平面

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10. 下列条件能使 $\text{[math]}$ 成立的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定是等腰三角形 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形， $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 是钝角三角形，则 $\text{[math]}$

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12. 已知由样本数据点集合 $\text{[math]}$ ，求得的回归直线方程为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，现发现两个数据点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 误差较大，去除后重新求得的回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有正相关关系 B . 去除后 $\text{[math]}$ 的估计值增加速度变快 C . 去除后与去除前均值 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不变 D . 去除后的回归方程为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其图象的对称轴中距离 $\text{[math]}$ 轴最近的一条对称轴方程为 $\text{[math]}$ .

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15. 椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，以原点为圆心，半径为椭圆 $\text{[math]}$ 的半焦距的圆恰与椭圆四个顶点围成的四边形的四边都相切，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题.在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，已知________.
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求边长 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 如图所示，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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20. 标准的医用外科口罩分三层，外层有防水作用，可防止飞来进入口罩里面，中间层有过滤作用，对于直径小于5微米的颗粒阻隔率必须大于90%，近口鼻的内层可以吸湿，根据国家质量监督检验标准，过滤率是重要的参考标准，为了监控某条口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个口罩，并检验过滤率.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的口罩的过滤率 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ .

（附：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；另： $\text{[math]}$ ）

（1）假设生产状态正常，记 $\text{[math]}$ 表示一天内抽取的10个口罩中过滤率小于 $\text{[math]}$ 的数量，求 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的数学期望；

（2）下面是检验员在一天内抽取的10个口罩的过滤率：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0.9376	0.9121	0.9424	0.9572	0.9518	0.9058	0.9216	0.9171	0.9635	0.9268

经计算得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为抽取的第 $\text{[math]}$ 个口罩的过滤率）用样本平均数 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的估计值，用样本标准差 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的估计值，利用该正态分布，求 $\text{[math]}$ （精确到 $\text{[math]}$ ）

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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 右支相切（切点不为右顶点），且 $\text{[math]}$ 分别交双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点.
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 面积为定值，并求出该定值.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
  ①求实数 $\text{[math]}$ 的范围；
  
  ②求证： $\text{[math]}$ .
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