江苏省南京市秦淮区2020届高三数学第一次模拟考试适应性测试...

更新时间：2020-04-14 浏览次数：178 类型：高考模拟

一、填空题

1. (2019高三上·镇江期中) 设全集 $\text{[math]}$ ，若集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位），则 $\text{[math]}$ 的共轭复数为．

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3. 函数f（x） $\text{[math]}$ 的定义域为．

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4. 根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为．

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5. 某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的 $\text{[math]}$ ，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是．

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6. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为．

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7. 已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 $\text{[math]}$ ，则该棱锥的体积为 $\text{[math]}$ .

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8. 函数 $\text{[math]}$ ，则f（f（0））＝．

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9. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为 $\text{[math]}$ ，圆心在y轴上，且圆C与直线2x+3y﹣10＝0相切于点P（2，2），则圆C的标准方程是．

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10. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （λ₁ ， λ₂为实数），则λ₁+λ₂＝．

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11. 已知e为自然对数的底数．若不等式（e^x^﹣¹﹣1）（x﹣a）≥0恒成立，则实数a的值是．

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12. 在等差数列{a_n}中，已知公差d≠0，a₂²＝a₁a₄ ，若 $\text{[math]}$ ，…成等比数列，则k_n＝．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，直线l是曲线M：y＝sinx（x∈[0，π]）在点A处的一条切线，且l∥OP，其中P为曲线M的最高点，l与x轴交于点B，过A作x轴的垂线，垂足为C，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 在锐角三角形ABC中，已知4sin²A+sin²B＝4sin²C，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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二、解答题

15. 如图，在△ABC中，已知B $\text{[math]}$ ，AB＝3，AD为边BC上的中线，设∠BAD＝α，若cosα $\text{[math]}$ ．
1. （1）求AD的长；
2. （2）求sinC的值．
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16. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD⊥平面ABCD，BD＝CD，E，F分别为BC，PD的中点．
1. （1）求证：EF∥平面PAB；
2. （2）求证：平面PBC⊥平面EFD．
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17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，右焦点F到右准线的距离为3．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x²+y²＝a²截得的弦长为 $\text{[math]}$ ，求△OPQ的面积．
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18. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是某景区的两条道路（宽度忽略不计， $\text{[math]}$ 为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路 $\text{[math]}$ 上一游客休息区，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （百米），Q到直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别为3（百米）， $\text{[math]}$ （百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路 $\text{[math]}$ 于点B，并在B处修建一游客休息区.
1. （1）求有轨观光直路 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时， $\text{[math]}$ （百米）（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ （百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.
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19. 在数列{a_n}中，a₁＝3，且对任意的正整数n，都有a_n+1＝λa_n+2×3ⁿ ，其中常数λ＞0．
1. （1）设b_n $\text{[math]}$ ．当λ＝3时，求数列{b_n}的通项公式；
2. （2）若λ≠1且λ≠3，设c_n＝a_n $\text{[math]}$ ，证明：数列{c_n}为等比数列；
3. （3）当λ＝4时，对任意的n∈N^* ，都有a_n≥M，求实数M的最大值．
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20. 已知函数g（x）＝e^x﹣ax²﹣ax，h（x）＝e^x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．
1. （1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．
  ①讨论f（x）的单调性；
  
  ②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
2. （2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x₁ ， x₂ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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