2017年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）

更新时间：2017-07-30 浏览次数：1135 类型：高考模拟

一、选择题

1. 已知集合A={x|y= $\text{[math]}$ }，B={x|x²+x＞0}，则A∩B=（）

A . {x|x＞0} B . {x|x≥0} C . {x|0＜x＜1} D . {x|x＜1}

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2. 在复平面内，复数z的对应点为（1，﹣2），复数z的共轭复数 $\text{[math]}$ ，则（ $\text{[math]}$ ）²=（）

A . ﹣3﹣4i B . ﹣3+4i C . 5﹣4i D . 5+4i

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3. 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ²），若P（ξ＞2）=0.023，则P（﹣2≤ξ≤2）=（）

A . 0.477 B . 0.625 C . 0.954 D . 0.977

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4. (2017·湖北模拟) 若¬（p∧q）为假命题，则（）

A . p为真命题，q为假命题 B . p为假命题，q为假命题 C . p为真命题，q为真命题 D . p为假命题，q为真命题

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5. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣ay=0，曲线C的一个焦点与抛物线y²=﹣8x的焦点重合，则双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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6. 如图网络纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何图的体积为（）

A . 12 B . 18 C . 20 D . 24

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7. 牛顿法求方程f（x）=0近似根原理如下：求函数y=f（x）在点（x_n ， f（x_n））处的切线y=f′（x_n）（x﹣x_n）+f（x_n），其与x轴交点横坐标x_n₊₁=x_n﹣ $\text{[math]}$ （n∈N^*），则x_n₊₁比x_n更靠近f（x）=0的根，现已知f（x）=x²﹣3，求f（x）=0的一个根的程序框图如图所示，则输出的结果为（）

A . 2 B . 1.75 C . 1.732 D . 1.73

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8. 已知变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则x²+y²取值范围为（）

A . [1，8] B . [4，8] C . [1，10] D . [1，16]

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9. 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（lnx）＜f（2），则x的取值范围是（）

A . （0，e²） B . （e^﹣² ， +∞） C . （e² ， +∞） D . （e^﹣² ， e²）

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10. 已知函数f（x）=sin（πx+ $\text{[math]}$ ）和函数g（x）=cos（πx+ $\text{[math]}$ ）在区间[﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的体积为 $\text{[math]}$ （球的体积公式为 $\text{[math]}$ R³ ，其中R为球的半径），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数f（x）的导函数f′（x），满足（x﹣2）[f′（x）﹣f（x）]＞0，且f（4﹣x）=e⁴^﹣^2xf（x），则下列关于
f（x）的命题正确的是（）

A . f（3）＞e²f（1） B . f（3）＜ef（2） C . f（4）＜e⁴f（0） D . f（4）＜e⁵f（﹣1）

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二、填空题

13. （x﹣ $\text{[math]}$ ）⁴的展开式中的常数项为．

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14. 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，则角A等于．

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15. 甲、乙、丙三位同学同时参加M项体育比赛，每项比赛第一名、第二名、第三名得分分别为p₁ ， p₂ ， p₃（p₁＞p₂＞p₃ ， p₁ ， p₂ ， p₃∈N*，比赛没有并列名次），比赛结果甲得22分，乙、丙都得9分，且乙有一项得第一名，则M的值为．

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16. 函数f（x）=2cos $\text{[math]}$ （sin $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （ω＞0）在区间（ $\text{[math]}$ ，π）上有且仅有一个零点，则实数ω的范围为．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ．已知a₁=2，S_n₊₁=4a_n+2．
1. （1）设b_n=a_n₊₁﹣2a_n ，证明数列{b_n}是等比数列；
2. （2）求数列{a_n}的通项公式．
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18. 某电子产品公司前四年的年宣传费x（单位：千万元）与年销售量y（单位：百万部）的数据如下表所示：
x（单位：千万元）
1
2
3
4
y（单位：百万部）
3
5
6
9
可以求y关于x的线性回归方程为 $\text{[math]}$ =1.9x+1．
参考公式：回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ．
1. （1）该公司下一年准备投入10千万元的宣传费，根据所求得的回归方程预测下一年的销售量m：
2. （2）根据下表所示五个散点数据，求出y关于x的线性回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
  x（单位：千万元）
  1
  2
  3
  4
  10
  y（单位：百万部）
  3
  5
  6
  9
  m
  并利用小二乘法的原理说明 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ =1.9x+1的关系．
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19. 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD= $\text{[math]}$ CD=1，如图2，将△ABD沿BD折起来，使平面ABD⊥平面BCD，设E为AD的中点，F为AC上一点，O为BD的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；、
（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEF的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的绝对值．

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20. 如图，已知过抛物线E：x²=4y的焦点F的直线交抛物线E与A、C两点，经过点A的直线l₁分别交y轴、抛物线E于点D、B（B与C不重合），∠FAD=∠FDA，经过点C作抛物线E的切线为l₂ ．
（Ⅰ）求证：l₁∥l₂；
（Ⅱ）求三角形ABC面积的最小值．

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21. 已知函数f（x）=lnx（x＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥1﹣ $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）设g（x）=x²f（x），且关于x的方程x²f（x）=m有两个不等的实根x₁ ， x₂（x₁＜x₂）．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）求证：x₁x₂²＜ $\text{[math]}$ ．
（参考数据：e=2.718， $\text{[math]}$ ≈0.960， $\text{[math]}$ ≈1.124， $\text{[math]}$ ≈0.769，ln2≈0.693，ln2.6≈0.956，ln2.639≈0.970．注：不同的方法可能会选取不同的数据）

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22. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C₁的参数方程为 $\text{[math]}$ ，（α为参数，且α∈[0，π]），曲线C₂的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．
（Ⅰ）求C₁的极坐标方程与C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P是C₁上任意一点，过点P的直线l交C₂于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．

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23. 已知实数a，b，c满足a，b，c∈R⁺ ．
（Ⅰ）若ab=1，证明：（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²≥4；
（Ⅱ）若a+b+c=3，且 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立，求x的取值范围．

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