从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．

1. (2022·通州模拟) 从一个无穷数列 $\text{[math]}$ 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为 $\text{[math]}$ 的一个无穷递增子列．已知数列 $\text{[math]}$ 是正实数组成的无穷数列，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项的所有可能情况；
3. （2）求证：数列 $\text{[math]}$ 存在无穷递增子列；
5. （3）求证：对于任意实数 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．

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1. (2022·通州模拟) 从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足 ．