2015-2016学年北京市石景山区高三上学期期末数学试卷（...

更新时间：2016-11-15 浏览次数：358 类型：期末考试

一、选择题

1. 设集合M={0，1，2}，N={x|x²﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）

A . {1} B . {2} C . {0，1} D . {1，2}

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2. 若变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=2x+y的最大值为（）

A . 0 B . 2 C . 3 D . 4

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3. 如图的程序框图表示算法的运行结果是（）

A . ﹣2 B . 2 C . ﹣1 D . 1

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4. 已知数列{a_n}是等差数列，a₃=8，a₄=4，则前n项和S_n中最大的是（）

A . S₃ B . S₄或S₅ C . S₅或S₆ D . S₆

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5. “ab=4”是“直线2x+ay﹣1=0与直线bx+2y﹣2=0平行”的（　　）

A . 充分必要条件 B . 充分而不必要条件 C . 必要而不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 若曲线y²=2px（p＞0）上只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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7. 如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是（）

A . B . C . D .

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8. 如图，在等腰梯形ABCD中， $\text{[math]}$ ，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得面BEFC⊥面ADFE，若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ₁ ， θ₂（θ₁ ， θ₂均不为0）．若θ₁=θ₂ ，则动点P的轨迹为（）

A . 直线 B . 椭圆 C . 圆 D . 抛物线

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二、填空题

9. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点到原点的距离为．

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10. $\text{[math]}$ 的二项展开式中x项的系数为．（用数字作答）

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11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，则cosB=．

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12. 在极坐标系中，设曲线ρ=2和ρcosθ=1相交于点A，B，则|AB|=．

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13. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是种．（用数字作答）

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14. 股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为．
卖家意向价（元）
2.1
2.2
2.3
2.4
意向股数
200
400
500
100
买家意向价（元）
2.1
2.2
2.3
2.4
意向股数
600
300
300
100

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三、解答题

15. 已知函数f（x）=2 $\text{[math]}$ x，x∈R．
1. （1）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；
2. （2）求函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值与最小值．
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16. 某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图所示．根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．
1. （1）写出这组数据的众数和中位数；
2. （2）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
3. （3）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．
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17. 在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
1. （1）求证：BE∥平面PAD；
2. （2）求证：BC⊥平面PBD；
3. （3）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请述明理由．
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18. 已知函数f（x）=x﹣1+ $\text{[math]}$ （a∈R，e为自然对数的底数）．
1. （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
2. （2）求函数f（x）的极值；
3. （3）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
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19. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=﹣3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OM经过线段PQ的中点N．（其中O为坐标原点）
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20. 给定一个数列{a_n}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N^*）项，并且不改变它们在数列{a_n}中的先后次序，得到的数列{a_n}的一个m阶子数列．
已知数列{a_n}的通项公式为a_n= $\text{[math]}$ （n∈N^* ， a为常数），等差数列a₂ ， a₃ ， a₆是数列{a_n}的一个3子阶数列．
1. （1）求a的值；
2. （2）等差数列b₁ ， b₂ ， …，b_m是{a_n}的一个m（m≥3，m∈N^*）阶子数列，且b₁= $\text{[math]}$ （k为常数，k∈N^* ， k≥2），求证：m≤k+1
3. （3）等比数列c₁ ， c₂ ， …，c_m是{a_n}的一个m（m≥3，m∈N^*）阶子数列，求证：c₁+c₁+…+c_m≤2﹣ $\text{[math]}$ ．
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