北京市西城区2017—2018学年高二上学期理数期末考试试卷

更新时间：2018-03-08 浏览次数：253 类型：期末考试

一、单选题

1. 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 命题“对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ”的否定是（）

A . 存在 $\text{[math]}$ ,使得 $\text{[math]}$ B . 对任意 $\text{[math]}$ ,都有 $\text{[math]}$ C . 存在 $\text{[math]}$ ,使得 $\text{[math]}$ D . 对任意 $\text{[math]}$ ,都有 $\text{[math]}$

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3. 双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点到其渐近线的距离为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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4. 设 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面， $\text{[math]}$ 是三条不同的直线，（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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5. “ $\text{[math]}$ ” 是“方程 $\text{[math]}$ 表示的曲线为椭圆”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 设 $\text{[math]}$ 是两个不同的平面， $\text{[math]}$ 是一条直线，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行 B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 异面 D . 以上三个答案均有可能

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7. 设 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为焦点的抛物线 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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8. 设 $\text{[math]}$ 为空间中的一个平面，记正方体 $\text{[math]}$ 的八个顶点中到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 的点的个数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的所有可能取值构成的集合为 $\text{[math]}$ ，则有（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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二、填空题

9. 命题“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”的逆否命题为.

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10. 经过点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 垂直的直线方程为.

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11. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 以 $\text{[math]}$ 所在的直线为轴将 $\text{[math]}$ 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为.

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12. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点在直线 $\text{[math]}$ 上，一条渐近线与 $\text{[math]}$ 平行，且双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点在x轴上，则双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程为；离心率为.

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13. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有个直角三角形.

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14. 在平面直角坐标系中，曲线 $\text{[math]}$ 是由到两个定点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的距离之积等于 $\text{[math]}$ 的所有点组成的. 对于曲线 $\text{[math]}$ ，有下列四个结论：
①曲线 $\text{[math]}$ 是轴对称图形；
②曲线 $\text{[math]}$ 是中心对称图形；
③曲线 $\text{[math]}$ 上所有的点都在单位圆 $\text{[math]}$ 内；
④曲线 $\text{[math]}$ 上所有的点的纵坐标 $\text{[math]}$ .
其中，所有正确结论的序号是.

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三、解答题

15. 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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16. 已知圆 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）如果圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相外切，求 $\text{[math]}$ 的值；
（Ⅱ）如果直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交所得的弦长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

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17. 如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
（Ⅰ）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
（Ⅱ）设点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
（Ⅲ）判断线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？（结论不要求证明）

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18. 设 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的两个动点， $\text{[math]}$ 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线 $\text{[math]}$ 经过焦点 $\text{[math]}$ ，且斜率为2，求 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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19. 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
（Ⅲ）求四面体 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积.
（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积 $\text{[math]}$ ）

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ . 点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上任意一点， $\text{[math]}$ 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
（Ⅱ）记线段 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（Ⅲ）设直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 且与椭圆 $\text{[math]}$ 相切， $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于另一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于原点 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，试判断直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的位置关系，并证明你的结论.

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