上海市青浦区2024届高三下学期4月学业质量调研数学试卷

更新时间：2024-05-21 浏览次数：8 类型：月考试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1. 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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3. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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4. $\text{[math]}$ 的二项展开式中的常数项为．

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5. 设随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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6. 椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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7. 已知直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角比直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角小 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的斜率为．

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8. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则满足条件的 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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9. 对于函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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10. 从 $\text{[math]}$ 中任取 $\text{[math]}$ 个不同的数字，设“取到的 $\text{[math]}$ 个数字之和为偶数”为事件 $\text{[math]}$ ， “取到的 $\text{[math]}$ 个数字均为奇数”为事件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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11. 如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深 $\text{[math]}$ ，上口宽 $\text{[math]}$ ，若以 $\text{[math]}$ 的速度匀速往杯中注水，当水深为 $\text{[math]}$ 时，酒杯中水升高的瞬时变化率 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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12. 如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，以△ $\text{[math]}$ 为底面作一个三棱柱 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 分别在平面 $\text{[math]}$ 上，则这个三棱柱的侧棱长为．

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 函数 $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的准线的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一点，则“点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）．

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件，

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15. 设 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ，则（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 如图，已知直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象相切于两点，则函数 $\text{[math]}$ 有（）．

A . 2个极大值点，1个极小值点 B . 3个极大值点，2个极小值点 C . 2个极大值点，无极小值点 D . 3个极大值点，无极小值点

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三、解答题（本大题共有5题,满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.

17. 对于函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调增区间；
2. （2）在锐角三角形 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求△ $\text{[math]}$ 的面积．
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18. 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 是所有棱长均为 $\text{[math]}$ 的直三棱柱， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 和棱 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值大小．
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19. 垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A等级和B等级，得到如下列联表：

男生
女生
总计
A等级
40
20
60
B等级
20
20
40
总计
60
40
100
1. （1）根据表中的数据回答：学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关（规定：显著性水平 $\text{[math]}$ ）？
  附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
2. （2）为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛．每局比赛由二人参加，主持人A和B轮流提问，先赢 $\text{[math]}$ 局者获得奖项并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人A提问甲赢的概率为 $\text{[math]}$ ，主持人B提问甲赢的概率为 $\text{[math]}$ ，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．现抽签决定第一局由主持人A提问．
  （i）求比赛只进行3局就结束的概率；
  （ii）设 $\text{[math]}$ 为结束比赛时甲赢的局数，求 $\text{[math]}$ 的分布和数学期望 $\text{[math]}$ ．
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20. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为其左、右焦点．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标和双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程；
2. （2）如图， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 右支在第一象限内一点，圆 $\text{[math]}$ 是△ $\text{[math]}$ 的内切圆，设圆与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别切于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当圆 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率；
3. （3）是否存在过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的左右两支分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出直线 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在，请说明理由．
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21. 若无穷数列 $\text{[math]}$ 满足：存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 对一切正整数 $\text{[math]}$ 成立，则称 $\text{[math]}$ 是周期为 $\text{[math]}$ 的周期数列．
1. （1）若 $\text{[math]}$ （其中正整数m为常数， $\text{[math]}$ ），判断数列 $\text{[math]}$ 是否为周期数列，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否为周期数列，并说明理由；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 是无穷数列，已知 $\text{[math]}$ ．求证：“存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是周期数列”的充要条件是“ $\text{[math]}$ 是周期数列”．
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