广东省深圳市南山区2023-2024学年高三上学期期末质量监...

更新时间：2024-03-12 浏览次数：12 类型：期末考试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 5

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3. 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ 为单位向量，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 龙洗作为我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故得其名.龙洗的盆体可近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高 $\text{[math]}$ ，盆口直径 $\text{[math]}$ 盆底直径 $\text{[math]}$ 盆内倒满水，若不考虑盆体厚度，则盆内水的体积近似为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 6

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 1 C . -2 D . 2

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题中，为真命题的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知甲､乙两组样本数据分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的为（）

A . 甲组样本数据的中位数与乙组样本数据的中位数一定相等 B . 甲组样本数据的平均数与乙组样本数据的平均数一定相等 C . 甲组样本数据的极差可能会大于乙组样本数据的极差 D . 甲组样本数据的方差一定不大于乙组样本数据的方差

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11. 已知直线经过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点（其中 $\text{[math]}$ ），与 $\text{[math]}$ 的准线交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点

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12. 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项不为零，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的为（）

A . $\text{[math]}$ 不可能为常数列 B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为等差数列 D . 若 $\text{[math]}$ 为等比数列，则 $\text{[math]}$ 的公比唯一

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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14. 已知sin（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，则sin2α=．

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15. 著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 均为质数，若从 $\text{[math]}$ 中任选2个构成两位数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的十位数字 $\text{[math]}$ 与个位数字 $\text{[math]}$ 不相等的概率为.

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16. 已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为2，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积为.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. 如图，在三棱台 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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20. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为单调递增函数，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ .
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21. 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
1. （1）若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
2. （2）若规定试验者乙至多可进行 $\text{[math]}$ 轮试验（若第 $\text{[math]}$ 轮不成功，也停止试验），记乙在第 $\text{[math]}$ 轮使得试验成功的概率为 $\text{[math]}$ ，则乙能试验成功的概率为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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22. 已知动点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离与它到定点 $\text{[math]}$ 的距离之比为 $\text{[math]}$ ，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的上､下半轴的交点依次为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的一点，且直线 $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （异于 $\text{[math]}$ ）.
  （i）求直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积；
  （ii）证明：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点.
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