福建省福州市闽清二中2023-2024学年高二上学期1月考试...

更新时间：2024-03-19 浏览次数：9 类型：月考试卷

一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，M为 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列命题中正确的（）

A . 若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共线，则向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线平行 B . 若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线为异面直线，则向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 一定不共面 C . 若存在不全为0的实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面 D . 对于空间的任意一个向量 $\text{[math]}$ ，总存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$

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3. 在空间直角坐标系中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于y轴的对称点为C ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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4. 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，点M为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点P在正方形 $\text{[math]}$ 的边界及其内部运动．给出以下四个结论：
①存在点P满足 $\text{[math]}$ ；
②存在点P满足 $\text{[math]}$ ；
③满足 $\text{[math]}$ 的点P的轨迹长度为 $\text{[math]}$ ；
④满足 $\text{[math]}$ 的点P的轨迹长度为 $\text{[math]}$ ．
其中正确的结论的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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5. (2024高三上·沙坪坝月考) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数a的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美. 平面直角坐标系中，曲线C： $\text{[math]}$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线C围成的图形的面积是 $\text{[math]}$
②曲线C围成的图形有2条对称轴；
③曲线C上的任意两点间的距离不超过2；
④若P(m ， n)是曲线C上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$
其中正确结论的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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7. 已知椭圆的方程为 $\text{[math]}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆上在第一象限的一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则该椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二上·邢台期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）

9. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，E为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点Q在底面ABCD内（包括边界），且点Q到点A的距离与到平面 $\text{[math]}$ 的距离相等，则下列选项中正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不垂直 C . 当 $\text{[math]}$ 时，存在点P ，使得EP与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，PQ的最小值为 $\text{[math]}$

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10. 以下四个命题为真命题的是（）

A . 过点 $\text{[math]}$ 且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角的范围是 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 之间的距离是 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$

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11. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上一动点，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，以下四个命题表述正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相离 B . 圆 $\text{[math]}$ 上有2个点到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于1 C . 过点 $\text{[math]}$ 向圆 $\text{[math]}$ 引一条切线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为切点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 过点 $\text{[math]}$ 向圆 $\text{[math]}$ 引两条切线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为切点，则直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$

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12. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，以坐标原点 $\text{[math]}$ 为圆心，线段 $\text{[math]}$ 为半径作圆与双曲线 $\text{[math]}$ 在第一、二、三、四象限依次交于A ， B ， C ， D四点，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ D . 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则直线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距是.

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15. (2023高二上·西城月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆于A ， B两点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上的两点， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 所截的弦长最小值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 如图，平行六面体 $\text{[math]}$ 的底面是菱形，且 $\text{[math]}$
1. （1）用空间的一个基底 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．
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18. 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点M为正方形 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 上的动点．
1. （1）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点N ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立，若存在，求出点N的位置，若不存在，说明理由；
2. （2）当点M落在线段 $\text{[math]}$ 靠近 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 上时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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19. 已知圆 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 三点.
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 经过第三象限，且与圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的取值范围.
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20. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知两点 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ .如图，动直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 轴上方），且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （3）是否存在一个定点，使得直线 $\text{[math]}$ 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作椭圆的切线 $\text{[math]}$ ，切点为A ， B.
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求O到直线 $\text{[math]}$ 的距离的范围.
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22. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条浙近线方程为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在双曲线上.
1. （1）求双曲线的标准方程；
2. （2）设双曲线左右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线右支于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交双曲线左支于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，求证：点 $\text{[math]}$ 在定直线上.
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