天津市第四十七中学2023-2024学年高三上学期数学第三次...

更新时间：2024-02-21 浏览次数：10 类型：月考试卷

一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 既不充分也不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 充分不必要条件

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3. 少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）

A . 样本的众数为65 B . 样本的第80百分位数为72.5 C . 样本的平均值为67.5 D . 该校学生中低于65kg的学生大约为1000人

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4. 函数 $\text{[math]}$ 的大致图像为（）

A . B . C . D .

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5. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为 $\text{[math]}$ ，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的偶函数，对任意 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 成立.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的上､下焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线的上支交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 成等差数列，且 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
① $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称；
② $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称；
③ $\text{[math]}$ 的图像可由 $\text{[math]}$ 的图像向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到；
④若方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.有且只有两个极值点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ .
以上四个说法中，正确的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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9. 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，若 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上投影的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）

10. 复数 $\text{[math]}$ 的虚部为.

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11. 已知 $\text{[math]}$ 的二项式系数和为256，则展开式中含 $\text{[math]}$ 项的系数为.

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12. 圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的公共弦的长为.

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13. 天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是（分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高.（分数作答）.

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14. 已知 $\text{[math]}$ 均为正实数， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 恰有4个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ .
  ①求 $\text{[math]}$ 的值；
  ②求 $\text{[math]}$ 的值.
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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成夹角的余弦值；
2. （2）求点N到直线BC的距离；
3. （3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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18. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个顶点为 $\text{[math]}$ 分别是椭圆的左､右焦点，且离心率 $\text{[math]}$ ，过椭圆右焦点 $\text{[math]}$ 且斜率为k的直线l与椭圆C交于M ， N两点.
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 为原点），求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （3）过原点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为P ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是公比为正数的等比数列， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 8成等差数列，
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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20. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，
  （i）证明 $\text{[math]}$ 恰有两个零点
  （ii）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的极值点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的零点，且 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ .
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