上海市静安区市北中学2023-2024学年高三上学期数学12...

更新时间：2024-02-22 浏览次数：13 类型：月考试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. (2023·奉贤模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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2. (2023·奉贤模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是虚数单位，则 $\text{[math]}$ ．

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3. (2023·奉贤模拟) 已知两个正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的几何平均值为1，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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4. (2023·奉贤模拟) 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过直线 $\text{[math]}$ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为．

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5. 设圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线相切，则该双曲线的渐近线方程为．

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6. (2020高一下·徐州期中) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则C=.

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7. (2023·青浦模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图像如图所示，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是.

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8. (2023·静安模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量等于.

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9. (2023·青浦模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若满足 $\text{[math]}$ 且对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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10. (2023·静安模拟) 若 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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11. 已知非零平面向量 $\text{[math]}$ 不平行，且满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角最大时， $\text{[math]}$ 的值为．

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12. (2023·奉贤模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的驻点为．

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. “ $\text{[math]}$ ”是“直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分也非必要条件．

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14. 下列函数中，以 $\text{[math]}$ 为周期且在区间 $\text{[math]}$ 上是严格增函数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ．

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15. (2023·浦东模拟) 在空间中，下列命题为真命题的是（）．

A . 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B . 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C . 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D . 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．

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16. 设 $\text{[math]}$ 是一个无穷数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若一个数列满足对任意的正整数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则称数列 $\text{[math]}$ 为和谐数列，给出下列两个命题：
①若对任意的正整数 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为和谐数列；
②若等差数列 $\text{[math]}$ 是和谐数列，则 $\text{[math]}$ 一定存在最小值；
下列说法正确的是（）．

A . ①是真命题，②是假命题 B . ①是假命题，②真命题 C . ①和②都是真命题 D . ①和②都是假命题

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差不为零， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）计算 $\text{[math]}$ ．
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的线面角的大小．
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19. 近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多“口袋公园”．现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”.如图所示，以 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的扇形草坪区 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在弧 $\text{[math]}$ 上（不与端点重合）， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为步行道，其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直．设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如果点 $\text{[math]}$ 位于弧 $\text{[math]}$ 的中点，求三条步行道 $\text{[math]}$ 的总长度；
2. （2） “地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用．为此街道允许在步行道 $\text{[math]}$ 开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元．则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．椭圆 $\text{[math]}$ 内部的一点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是不同的两点．
1. （1）若椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左上方．
  求证：当时，点在点 $\text{[math]}$ 的左上方．
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21. 已知 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的导数，并证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是严格减函数（常数 $\text{[math]}$ 为自然对数的底）；
2. （2）根据（1），判断并证明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是正整数， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是满足条件的唯一一组值.
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