一、<img src="http://tikupic.21cnjy.com/2023/12/29/a7/00/a700c7d0846862f597c983a45e18e347.png" width="26px" height="33px">单选题:共8小题,每小题5分,共40分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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1.
已知集合
, 则
( )
A . {2}
B . {4,5}
C . {3,4}
D . {2,3}
-
2.
已知复数z满足
, 则复数z的虚部为( )
-
3.
双曲线
的渐近线方程是( )
-
4.
已知三棱锥
中,点M,N分别为AB,OC的中点,且
,
,
, 则
( )
-
5.
在棱长为
的正方体
中,向量
与向量
所成的角为( )
A . 60°
B . 150°
C . 90°
D . 120°
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6.
已知命题p:方程
表示焦点在
轴上的椭圆,则使命题
成立的充分不必要条件是( )
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7.
国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆、绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量
与时间的关系
(
为最初污染物数量).如果前3个小时消除了20%的污染物,那么污染物消除至最初的64%还要( )
A . 2.6小时
B . 3小时
C . 6小时
D . 4小时
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8.
若曲线
上存在点
, 使
到平面内两点
,
距离之差的绝对值为8,则称曲线
为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )
二、多选题:共4小题,每小题5分,共20分,每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.
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11.
为了考查某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为( )
A . 9
B . 10
C . 11
D . 12
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三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
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14.
圆心为
, 且过点
的圆的方程是
.
-
15.
已知椭圆
的左、右焦点分别为
,
, 过
作
轴的垂线,交椭圆于点
, 若直线
的斜率为
, 则椭圆
的离心率为
.
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16.
已知函数
定义域为
,
, 对任意的
, 当
时,有
(e是自然对数的底).若
, 则实数a的取值范围是
.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
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17.
如图,在四棱锥
中,底面
为正方形,
平面
,
为
的中点,
为
与
的交点.
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(1)
证明:
//平面
;
-
(2)
求三棱锥
的体积.
-
18.
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
.
-
-
(2)
若
, 求△ABC的面积.
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19.
已知直线
.
-
(1)
求证:直线
与圆
恒有公共点;
-
(2)
若直线
与圆心为
的圆
相交于
两点,且
为直角三角形,求
的值.
-
20.
甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏,规则如下:一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球,其中2个红球,2个白球,甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球,然后让乙猜.若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,一轮游戏结束,然后进行下一轮(每轮游戏都由甲摸球).乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种;
猜法一:猜“第二次取出的球是红球”;
猜法二:猜“两次取出球的颜色不同”.请回答:
-
(1)
如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜法,并说明理由;
-
(2)
假定每轮游戏结果相互独立,规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方,且整个游戏停止.若乙按照(1)中的选择猜法进行游戏,求乙获得游戏胜利的概率.
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21.
如图,已知点
, 圆
, 点
在圆
上运动,
的垂直平分线交
于点
.
-
(1)
求动点
的轨迹
的方程;
-
(2)
直线
与曲线
交于
两点,且
中点为
, 求直线
的方程及
的面积.
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-
(1)
证明:
;
-
(2)
若二面角
为
, 求直线BC与平面PAB所成角的正弦值.