北京市首都重点大学附属中学2023-2024学年高三上学期数...

更新时间：2024-01-16 浏览次数：14 类型：月考试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设平面向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . $\text{[math]}$

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3. 设集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件 $\text{[math]}$ ， “第2次拿出的是白球”为事件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项为（）

A . 1792 B . $\text{[math]}$ C . 1120 D . $\text{[math]}$

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6. 《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为（）

A . 5立方丈 B . 20立方丈 C . 40立方丈 D . 80立方丈

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7. 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是其前n项和，则“ $\text{[math]}$ “是对于任意“ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. (2022高三上·东阳月考) 记函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为T．若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 中心对称，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3

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9. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\text{[math]}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，从而保证伞圈 $\text{[math]}$ 能够沿着伞柄滑动．如图2，伞完全收拢时，伞圈 $\text{[math]}$ 已滑到 $\text{[math]}$ 的位置，且 $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈 $\text{[math]}$ 沿着伞柄向下滑动的距离为 $\text{[math]}$ ，则当伞完全张开时， $\text{[math]}$ 的余弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 下图展示了一个由区间 $\text{[math]}$ 到实数集R的映射过程：区间 $\text{[math]}$ 中的实数 $\text{[math]}$ 对应数轴上的点 $\text{[math]}$ （如图1）；将线段 $\text{[math]}$ 围成一个圆，使两端点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好重合（从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 $\text{[math]}$ 轴上，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ （如图3），图3中直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的象就是 $\text{[math]}$ ，记作 $\text{[math]}$ ．
则下列命题中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是奇函数 C . $\text{[math]}$ 在其定义域上单调递增 D . $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称

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二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. (2022高一上·和平期末) 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为．

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12. 已知直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ ．给出下列三个论断：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．

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13. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速 $\text{[math]}$ 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按 $\text{[math]}$ 分组，绘制成如图所示频率分布直方图．则 $\text{[math]}$ ；这300辆汽车中车速低于限速 $\text{[math]}$ 的汽车有辆．

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14. 设函数 $\text{[math]}$ ．
①若 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为；
②若 $\text{[math]}$ ，且不等式 $\text{[math]}$ 的解集中恰有一个正整数，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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15. 如图，在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的一个动点，给出下列四个结论：
①三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值；
②存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
④对每一个点 $\text{[math]}$ ，在棱 $\text{[math]}$ 上总存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
⑤ $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 的截面 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ ，则截面 $\text{[math]}$ 的面积的最小值为 $\text{[math]}$ ．
其中正确的命题的序号是．

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三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
3. （3）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值？若不存在，说明理由．
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17. 人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A ，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况
频数
“一个”
6
“一些”
4
“一穷”
2
“一条”
2
其他
a
假设用频率估计概率．
1. （1）求a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
2. （2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为X ，求X的分布列和期望；
3. （3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）
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18. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为等腰三角形；
2. （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $\text{[math]}$ 存在且唯一，求 $\text{[math]}$ 的值．
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ；
  条件③： $\text{[math]}$ 边上的高为3．
  注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是椭圆上异于短轴端点 $\text{[math]}$ 的任意一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，试判断以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与点 $\text{[math]}$ 的位置关系．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
3. （3）若对任意的 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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21. 数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．对任意 $\text{[math]}$ ，都存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且两两不相等．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号．
  ①1，1，1，2，2，2；
  ②1，1，1，1，2，2，2，2；
  ③1，1，1，1，1，2，2，2，2．
2. （2）记 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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