差分和差商
古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动
既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？
为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动．
如果一个物体的位置在时刻和后来的一个时刻
不同，我们就说他在时刻
和
之间动了，反过来，如果他在任意时刻
都有相同的位置，就说它在
到
这段时间没有动．
这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念。芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的
函数可以用来描述物体的运动或变化。研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律。变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的。
设函数在实数集
上有定义。为了研究
的变化规律，需要考虑它在
中两点处的函数值的差。
定义差分和差商
称
为函数
从
到
的差分，这里若无特别说明，均假定
通常记
，
叫做差分的步长，可正可负
差分和它的步长的比值
叫做
在
和
的差商．
显然，当和
位置交换时，差分变号，差商不变．
随着所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度
一般而言，当
时，它是
在区间
上的平均变化率．
显然，函数和它的差商有下列关系：
某 区间上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；
某区间上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然．
可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具．
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