广西三新学术联盟2023-2024学年高二上学期数学10月联...

更新时间：2023-12-21 浏览次数：18 类型：月考试卷

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 关于空间向量，以下说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的夹角是钝角 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 空间中任何两个向量都是共面向量

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4. 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的充要条件是 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 3或 $\text{[math]}$ D . 1或 $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不同的平面，下列命题中，正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ 三边所在直线方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 边上的高所在直线的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点 $\text{[math]}$ 是锐角 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ 上的两点，试着在边 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 最大”.如图，其结论是：点 $\text{[math]}$ 为过 $\text{[math]}$ 两点且和射线 $\text{[math]}$ 相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，给定两点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上移动，当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，该圆的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ .下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$

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10. 如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中，以顶点 $\text{[math]}$ 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 为正三角形，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 二面角 $\text{[math]}$ 的平面角是 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上的动点，则（）

A . $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为等边三角形 D . $\text{[math]}$ 最小值为2

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三、填空题

13. 直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴､ $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 恰为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为.

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14. 已知 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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15. 在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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16. 已知圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，若圆 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）当直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切时，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率；
2. （2）线段 $\text{[math]}$ 的端点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上运动，求线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.
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18. 在 $\text{[math]}$ 中，已知角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.
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五、证明题

19. 如图，在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若正四棱柱的外接球的表面积是 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.
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六、应用题

20. 甲、乙两位同学进行跳绳比赛，比赛规则如下：进行两轮跳绳比赛，每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分，跳绳不够200次得0分，两轮结束总得分高的为跳绳王，得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析，已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为 $\text{[math]}$ ，乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为 $\text{[math]}$ ，且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响.
1. （1）求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；
2. （2）求不进行加赛甲就获得跳绳王的概率.
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七、证明题

21. 如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆柱的轴截面，正方形 $\text{[math]}$ 内接于下底面圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值的最小值.
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八、解答题

22. 已知圆 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）圆 $\text{[math]}$ 的圆心为 $\text{[math]}$ ，与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上相异于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的点，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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