湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高三上册数学8月第...

更新时间：2024-03-19 浏览次数：20 类型：月考试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数z满足（z-2i）(1-i）=2，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是非零实数，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码 $\text{[math]}$
1
2
3
4
5
年人均借阅量 $\text{[math]}$ （册）
          $\text{[math]}$
          $\text{[math]}$
16
22
28
（参考数据： $\text{[math]}$ ）通过分析散点图的特征后，年人均借阅量 $\text{[math]}$ 关于年份代码 $\text{[math]}$ 的回归分析模型为 $\text{[math]}$ ，则2023年的年人均借阅量约为（）

A . 31 B . 32 C . 33 D . 34

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5. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，一束平行于 $\text{[math]}$ 轴的光线 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 射入，经过抛物线上的点 $\text{[math]}$ 反射后，再经抛物线上另一点 $\text{[math]}$ 反射后，沿直线 $\text{[math]}$ 射出，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的距离最小值为（）

A . 2 B . 4 C . 8 D . 16

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6. 某校4名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数不相等的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起成 $\text{[math]}$ ，折起过程中，当 $\text{[math]}$ 时，四面体 $\text{[math]}$ 体积为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -12 B . -6 C . 12 D . 18

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二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为2 C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减

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10. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 位于第一象限内一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ B . 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ C . 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ D . 若双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$

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11. 若数列 $\text{[math]}$ 中任意连续三项 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，均满足 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为跳跃数列.则下列结论正确的是（）

A . 等比数列：1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …是跳跃数列 B . 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是跳跃数列 C . 等差数列不可能是跳跃数列 D . 等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，且满足 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 是奇函数 B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 是最小正周期为2的周期函数 D . 若函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，过动点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为切点），使得 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为.

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15. 如图，圆柱 $\text{[math]}$ 的底面半径和母线长均为3， $\text{[math]}$ 是底面直径，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在母线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是上底面的一个动点，且 $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 的外接球的体积为.

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的两个不同极值点，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）

17. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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18. 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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20. 2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种.
1. （1）甲在每次挑战中，成功的概率都为 $\text{[math]}$ .设甲在3次挑战中成功的次数为 $\text{[math]}$ ，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
2. （2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，由于教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，改变规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.15.求乙在第三次成功的概率.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程：
2. （2）若三角形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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22. 证明下面两题：
1. （1）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明函数 $\text{[math]}$ 有2个不同零点.
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