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上海市静安区2022-2023学年高一下册数学期末试卷

更新时间：2023-11-16 浏览次数：32 类型：期末考试

一、填空题</strong>

1. 已知角 $\text{[math]}$ 的顶点在坐标原点，始边与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴重合，其终边经过点 $\text{[math]}$ .则角 $\text{[math]}$ 的余弦值为.

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2. 已知扇形的弧所对的圆心角为 $\text{[math]}$ ，且半径为 $\text{[math]}$ ，则该扇形的弧长为 $\text{[math]}$ .

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3. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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4. 已知 $\text{[math]}$ 是实系数一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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5. 设某新鲜食物每存放一天，剩余的营养成分是前一天的 $\text{[math]}$ ，当剩余的营养成分不足新鲜时的一半时，该食物就不能食用了.则该新鲜食物最多存放天.（结果精确到1天）

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6. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的值域为.

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7. 若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心（中线的交点），则用向量 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 为.

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8. 已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕坐标原点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ .则点 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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二、单选题</strong>

9. 在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴重合的角.
①小于 $\text{[math]}$ 的角一定是锐角；
②第二象限的角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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10. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示满足 $\text{[math]}$ 的最小正整数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

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三、解答题</strong>

12. 设数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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13. 设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .现在复数系中定义一个新运算 $\text{[math]}$ ，规定： $\text{[math]}$ .
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）现给出如下有关复数新运算 $\text{[math]}$ 性质的两个命题：
  ① $\text{[math]}$ ；
  
  ②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
  
  请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
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14. 如图，某人位于临河的公路上，已知公路两个相邻路灯 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的距离是 $\text{[math]}$ ，为了测量点 $\text{[math]}$ 与河对岸一点 $\text{[math]}$ 之间的距离，此人先后测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点之间的距离；
2. （2）假设你只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角的大小）.请你设计一个通过测量角可以计算出河对岸两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间距离的方案，用字母表示所测量的角的大小，并用其表示出 $\text{[math]}$ 的长.
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15.
1. （1）指出函数 $\text{[math]}$ 的最大值，及函数取得最大值时所对应的 $\text{[math]}$ 的值，并画出该函数在一个最小正周期内的大致图像；
2. （2）指出正弦函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并以此为依据证明：余弦函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 是严格增函数.
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16. 如图，平面向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是单位向量，夹角为 $\text{[math]}$ ，那么，向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 构成平面的一个基.若 $\text{[math]}$ ，则将有序实数对 $\text{[math]}$ 称为向量 $\text{[math]}$ 的在这个基下的斜坐标，表示为 $\text{[math]}$ .
1. （1）记向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求向量 $\text{[math]}$ 在这个基下的斜坐标；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.
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