一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
-
1.
已知集合
, 则
( )
-
2.
已知复数
满足
, 则
的共轭复数
的虚部为( )
-
3.
已知向量
的夹角为
, 且
, 则
在
上的投影向量为( )
-
4.
一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环,两个半圆半径分别为2和4,则该圆台的体积是( )
-
-
6.
数学对于一个国家的发展至关正要,发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养,特开设了“古今数学思想”,“世界数学通史”,“儿何原本”,“什么是数学”四门选修课程,要求数学系每位同学每学年至多选3门,大一到大三三学年必须将四门选修课程选完,则每位同学的不同选修方式在( )
A . 60种
B . 78种
C . 84种
D . 144种
-
7.
已知椭圆方程
是其左焦点,点
是椭圆内一点,点
是椭圆上任意一点,若
的最大值为
, 最小值为
, 那么
( )
A .
B . 4
C . 8
D .
-
8.
已知函数
,
,若
,
,则
的最大值为( )
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
-
13.
展开式中所有奇数项的二项式系数和为32,则展开式中的常数项为
.(用数字作答)
-
14.
已知
, 则
-
-
16.
在数列
中,
, 设
, 若对任意的正整数
, 当
时,不等式
恒成立,则实数
的取值范围是
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
-
-
-
(1)
求数列
的通项公式;
-
-
19.
如图,在四棱锥
中,
底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,
, E是PB的中点
-
(1)
求证:平面EAC
平面PBC;
-
(2)
二面角P-AC-E的余弦值为
, 求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
-
20.
某数学兴趣小组为研究学生数学成绩与语文成绩的关系,采取简单随机抽样,从学校抽取样本容量为200的样本,将所得数学成绩与语文成结的样本观测数据蹩理如下:
|
|
语文成绩
|
合计
|
|
|
优秀
|
不优秀
|
数学
成绩
|
优秀
|
50
|
30
|
80
|
不优秀
|
40
|
80
|
120
|
合计
|
90
|
110
|
200
|
-
(1)
根据
的独立性检验,能否认为数学成绩与语文成绩有关联?
-
(2)
在人工智能中常用
表示在事件
发生的条件下事件
发生的优势,在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人,
表示“选到的学生语文成绩不优秀”,
表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据,估计
的值;
-
(3)
现从数学成绩优秀的样本中,按语文成续优秀与不优秀进行分层抽样,从中选出8人组成一个小组,从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛,求这3人中语文成绩优秀的人数
的概率分布列及数学期望.
附: ,
a
|
0.050
|
0.010
|
0.001
|
xa
|
3.841
|
6.635
|
10.828
|
-
21.
已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点相同,曲线
的离心率为
为曲线
上一点且
.
-
(1)
求曲线
和曲线
的标准方程;
-
(2)
过
的直线交曲线
于H、G两点,若线段
的中点为
, 且
, 求四边形OHNG面积的最大值
-
-
(1)
若
的最大值是0,求
的值;
-
(2)
若对其定义域内任意
,
恒成立,求
的取值范围.