广东省深圳科学高中2022-2023学年高二下册期中考试数学...

更新时间：2023-08-24 浏览次数：56 类型：期中考试

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对应的点分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. $\text{[math]}$ 九章算术 $\text{[math]}$ 卷 $\text{[math]}$ 商功 $\text{[math]}$ 记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” $\text{[math]}$ 这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一” $\text{[math]}$ 就是说：圆堡瑽 $\text{[math]}$ 圆柱体 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ 底面圆的周长的平方 $\text{[math]}$ 高 $\text{[math]}$ ，则由此可推得圆周率 $\text{[math]}$ 的取值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线过双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若幂函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的递增区间为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的和记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调 D . 将 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到的图象关于原点对称

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为随机事件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对立事件， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 互斥，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 独立，则 $\text{[math]}$

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11. (2023高三下·杭州模拟) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 内部(含边界)的一个动点，则（）

A . 存在唯一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ B . 存在唯一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角取到最小值 C . 若 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$ D . 若异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是抛物线的一部分

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12. 数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素 $\text{[math]}$ 如我们熟悉的 $\text{[math]}$ 符号，我们把形状类似 $\text{[math]}$ 的曲线称为“ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，把到定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 距离之积等于 $\text{[math]}$ 的点的轨迹称为“ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 已知点 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 上一点，下列说法中正确的有（）

A . “ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 关于原点 $\text{[math]}$ 中心对称 B . $\text{[math]}$ C . “ $\text{[math]}$ 曲线” $\text{[math]}$ 上满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 有两个 D . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前三项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的公比为．

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14. 若 $\text{[math]}$ 的展开式中二项式系数之和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为．

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15. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名 $\text{[math]}$ 他发现：“平面内到两个定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离之比为定值 $\text{[math]}$ 的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆 $\text{[math]}$ 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 则点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为；在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，该三棱锥体积的最大值为．

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16. 已知函数， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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18. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线上一点，且与 $\text{[math]}$ 分别位于边 $\text{[math]}$ 的两侧，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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19. 某市举行招聘考试，共有 $\text{[math]}$ 人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试 $\text{[math]}$ 为了解考生的考试情况，随机抽取了 $\text{[math]}$ 名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
1. （1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
2. （2）若所有考生的初试成绩 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为样本平均数的估计值， $\text{[math]}$ ，试估计初试成绩不低于 $\text{[math]}$ 分的人数；
3. （3）复试共三道题，第一题考生答对得 $\text{[math]}$ 分，答错得 $\text{[math]}$ 分，后两题考生每答对一道题得 $\text{[math]}$ 分，答错得 $\text{[math]}$ 分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩 $\text{[math]}$ 已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为 $\text{[math]}$ ，后两题答对的概率均为 $\text{[math]}$ ，且每道题回答正确与否互不影响 $\text{[math]}$ 记该考生的复试成绩为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及均值．
  附：若随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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20. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ .夹角的余弦值．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）直线 $\text{[math]}$ 是过点 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ 的切线，且与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的弦切角， $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 对应的椭圆周角，探究椭圆 $\text{[math]}$ 的弦切角 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 对应的椭圆周角 $\text{[math]}$ 的关系，并证明你的结论．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ 注： $\text{[math]}$ 是自然对数的底数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内有唯一的极值点 $\text{[math]}$ ．
  ①求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  
  ②求证： $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内有唯一的零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
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