广东省深圳市龙华中学2022-2023学年高一下册期中考试数...

更新时间：2023-07-10 浏览次数：45 类型：期中考试

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分。每小题只有一项是符合题目要求的）

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 的模等于2，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1或3 B . 1 C . 3 D . 2

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3. $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不重合的平面，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是异面直线，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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5. 已知圆锥的底面半径为 $\text{[math]}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 阿基米德（ $\text{[math]}$ ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为 $\text{[math]}$ ，则圆柱的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑 $\text{[math]}$ 中，满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则此鳖臑外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列命题错误的是（）

A . 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B . 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C . 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D . 正棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形

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10. 下列命题正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ C . 对于向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ 恒成立 D . 向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不能作为所在平面内的一组基底

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11. 一艘轮船航行到 $\text{[math]}$ 处时看灯塔 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的北偏东75°方向上，距离为 $\text{[math]}$ 海里，灯塔 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的北偏西30°方向上，距离为 $\text{[math]}$ 海里，该轮船从 $\text{[math]}$ 处沿正北方向继续航行到 $\text{[math]}$ 处时再看灯塔 $\text{[math]}$ 在其南偏东60°方向上，下面结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 海里 B . $\text{[math]}$ 海里 C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . 灯塔 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的南偏西60°方向上

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12. 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，截面 $\text{[math]}$ 是正方形，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 截面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为45°

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）

13. 已知i为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的实部为.

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14. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自 $\text{[math]}$ 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 $\text{[math]}$ 点的最短路线的长为cm.

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15. (2022·广州模拟) 已知菱形ABCD的边长为2， $\text{[math]}$ ，点P在BC边上（包括端点），则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. 如图，在正四棱锥 $\text{[math]}$ （顶点 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 上的射影是正方形 $\text{[math]}$ 的中心）中，底边长2，高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在正四棱锥表面上运动，并且总是保持 $\text{[math]}$ .则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹的长度.

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为单位向量，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为120°，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角.
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18. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.
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19. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为12，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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20. 如图1是半圆 $\text{[math]}$ （以 $\text{[math]}$ 为直径）与 $\text{[math]}$ 组合成的平面图，其中 $\text{[math]}$ ，图2是将半圆 $\text{[math]}$ 沿着直径折起得到的，且半圆 $\text{[math]}$ 所在平面与 $\text{[math]}$ 所在平面垂直，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的正切值.
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21. 山顶有一座石塔 $\text{[math]}$ ，已知石塔的高度为 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图，若以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为观测点，在塔顶 $\text{[math]}$ 处测得地面上一点 $\text{[math]}$ 的俯角为 $\text{[math]}$ ，在塔底 $\text{[math]}$ 处测得 $\text{[math]}$ 处的俯角为 $\text{[math]}$ ，求山的高度 $\text{[math]}$ .
2. （2）如图，若将观测点选在地面的直线 $\text{[math]}$ 上，其中 $\text{[math]}$ 是塔顶 $\text{[math]}$ 在地面上的正投影，当观测点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上满足 $\text{[math]}$ 时，看 $\text{[math]}$ 的视角（即点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 仰角的差 $\text{[math]}$ ）最大，求山的高度 $\text{[math]}$ .
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22. 如图，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
3. （3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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