上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

更新时间：2023-07-10 浏览次数：83 类型：期末考试

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 在复数范围内， $\text{[math]}$ 的所有平方根为

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2. 若幂函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，则该函数的表达式 $\text{[math]}$

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3. 无论 $\text{[math]}$ 为何值，函数 $\text{[math]}$ 的图像恒经过一个定点，该定点坐标为

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4. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

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5. 若向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是

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7. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，锐角 $\text{[math]}$ 的大小如图所示，则 $\text{[math]}$

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8. 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个虚根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为

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9. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图像如图所示，则 $\text{[math]}$

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10. 如图，为计算湖泊岸边两景点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离，在岸上选取 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点，现测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，据以上条件可求得两景点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离为km（精确到0.1km）

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是平面上一个动点，则当 $\text{[math]}$ 由0连续变到 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 扫过的面积是

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，有以下命题：
①函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ；

②函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为增函数；

③直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图像的一条对称轴；

④函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有三个零点；

⑤函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .

请写出正确命题的全部序号

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二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. 如果 $\text{[math]}$ ，那么下列式子中一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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14. 欧拉公式 $\text{[math]}$ （其中e是自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当 $\text{[math]}$ 时，恒等式 $\text{[math]}$ 更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断 $\text{[math]}$ 表示的复数在复平面对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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15. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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16. 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若向量 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 为何实数时， $\text{[math]}$ ？平行时它们是同向还是反向？
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18. 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究，经过2分钟菌落的覆盖面积为 $\text{[math]}$ ，经过3分钟覆盖面积为 $\text{[math]}$ ，后期其蔓延速度越来越快，菌落的覆盖面积 $\text{[math]}$ （单位：mm）与经过时间 $\text{[math]}$ （单位：min）的关系现有三个函数模型：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 可供选择.
1. （1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的表达式；
2. （2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过 $\text{[math]}$ ？（结果保留到整数）
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19. 已知复平面上有点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 对应的复数分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 对应的复数为 $\text{[math]}$ ，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为纯虚数，求复数 $\text{[math]}$ .
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20. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，令函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的表达式及其单调增区间；
2. （2）将函数 $\text{[math]}$ 的图像向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到函数 $\text{[math]}$ 的图像，且满足 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时，存在实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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21. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数： $\text{[math]}$ ，双曲余弦函数： $\text{[math]}$ .（e是自然对数的底数， $\text{[math]}$ ）.
1. （1）计算 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： $\text{[math]}$ ，并加以证明；
3. （3）若对任意 $\text{[math]}$ ，关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有解，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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