备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（6）

更新时间：2023-05-14 浏览次数：151 类型：三轮冲刺

一、真题

1. (2022·邵阳) 如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上.
1. （1）求该抛物线的表达式.
2. （2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标.
3. （3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值.
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2. (2022·岳阳) 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）如图2，作抛物线 $\text{[math]}$ ，使它与抛物线 $\text{[math]}$ 关于原点 $\text{[math]}$ 成中心对称，请直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式；
3. （3）如图3，将（2）中抛物线 $\text{[math]}$ 向上平移2个单位，得到抛物线 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧）.
  ①求点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  
  ②若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为抛物线 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的动点（点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），试求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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3. (2022·株洲) 阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式 $\text{[math]}$ 时，关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 有如下关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”.此关系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且该二次函数的图象过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）如图所示，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，该二次函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴相交于不同的两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且该二次函数的图象的顶点在矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上，其对称轴与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .
  ①求关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根的判别式的值；
  ②若 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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4. (2022·长沙) 若关于x的函数y，当 $\text{[math]}$ 时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数 $\text{[math]}$ ，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”.
1. （1） ①若函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求函数y的“共同体函数”h的值；
  ②若函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ ，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
3. （3）若函数 $\text{[math]}$ ，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
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5. (2022·怀化) 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax²+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF $\text{[math]}$ AB交BC于点F.
1. （1）求抛物线和直线BC的函数表达式，
2. （2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长.
3. （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.
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6. (2022·湘潭) 已知抛物线y＝x²+bx+c．
1. （1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB.
  （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
  
  （Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.
2. （2）如图②，直线y＝ $\text{[math]}$ x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y=x²+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围.
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7. (2022·永州) 已知关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，函数的图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，求该函数的表达式和最小值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴有交点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
3. （3）阅读下面材料：
  设 $\text{[math]}$ ，函数图象与 $\text{[math]}$ 轴有两个不同的交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点均在原点左侧，探究系数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
  
  ①因为函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴有两个不同的交点，所以 $\text{[math]}$ ；
  
  ②因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点在原点左侧，所以 $\text{[math]}$ 对应图象上的点在 $\text{[math]}$ 轴上方，即 $\text{[math]}$ ；
  
  ③上述两个条件还不能确保 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需 $\text{[math]}$ .
  
  综上所述，系数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 应满足的条件可归纳为： $\text{[math]}$
  
  请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
  
  若函数 $\text{[math]}$ 的图象在直线 $\text{[math]}$ 的右侧与 $\text{[math]}$ 轴有且只有一个交点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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8. (2022·娄底) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）请直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大？并求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
3. （3）点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的动点，作 $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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9. (2022·郴州) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴相交于点C.
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.
  ①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；
  
  ②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.
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10. (2022·湘西) 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
1. （1）求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．
2. （2）点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
3. （3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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二、模拟预测

11. (2023·凤凰模拟) 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C，连接 $\text{[math]}$ .若在第四象限的抛物线上取一点M，过点M作 $\text{[math]}$ 轴于点D，交直线 $\text{[math]}$ 于点E.
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）试探究抛物线上是否存在点M，使 $\text{[math]}$ 有最大值？若存在，求出点M的坐标和 $\text{[math]}$ 的最大值；若不存在，请说明理由；
3. （3）连接 $\text{[math]}$ ，试探究是否存在点M，使得以M，C，E为顶点的三角形和 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
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12. (2023·岳阳模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C.
1. （1）请直接写出点A，B，C的坐标；
2. （2）若点P是抛物线 $\text{[math]}$ 段上的一点，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时求出点P的坐标，并求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
3. （3）点F是抛物线上的动点，作 $\text{[math]}$ 交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.
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13. (2023·汨罗模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线 $\text{[math]}$ 过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称.点P是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线 $\text{[math]}$ 于点N.
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求点P的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由
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14. (2023·湘潭模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴相交于A、B两点，点C的坐标是 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）动点P从点O出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时， $\text{[math]}$ ？
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15. (2022·衡阳模拟) 如图，直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax²+ $\text{[math]}$ x+c经过A、B两点.
1. （1）求二次函数解析式；
2. （2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；
3. （3）在（2）的结论下，连接CM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
4. （4）如图2，点N的坐标是（1，0），将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接N′A、N′B，求N′A+ $\text{[math]}$ N′B的最小值.
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16. (2023九上·凤凰期末) 如图，抛物线y＝-x²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C.
1. （1）求b，c的值；
2. （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m.当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值.
3. （3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
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17. (2023·岳阳楼模拟) 已知：二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O，
1. （1）求这个二次函数的解析式；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 交y轴于D点，E为抛物线顶点.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
3. （3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
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18. (2022九下·长沙开学考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段 $\text{[math]}$ 的长满足 $\text{[math]}$ ，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线 $\text{[math]}$ 为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C.且 $\text{[math]}$
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）若P为 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的动点，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为D.
  ①求 $\text{[math]}$ 的最大值；
  
  ②连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求点P的坐标.
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19. (2022九下·长沙开学考) 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且OB=2OC.
1. （1）求点B的坐标和a的值；
2. （2）如图1，点D，P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD，DE，设△CDE的面积为s，若 $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；
3. （3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB=2∠APB，求点P的坐标.
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20. (2023·永定模拟) 已知抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线解析式；
2. （2）如图①，若点 $\text{[math]}$ 是第一象限内抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 长的最大值
3. （3）如图②，若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上另一动点，点 $\text{[math]}$ 是平面内一点，是否存在以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点，且以 $\text{[math]}$ 为边的矩形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由
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21. (2023九下·雨花开学考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a＜0）与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．
1. （1）试求抛物线的解析式；
2. （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝ $\text{[math]}$ ，试求m的最大值及此时点P的坐标：
3. （3）连接AC，抛物线上是否存在点Q，使得∠BAQ＝2∠OCA？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
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22. (2022九上·长沙期中) 规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数 $\text{[math]}$ 上，点Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）在函数 $\text{[math]}$ 上，点P与点Q关于原点对称，此时函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．
1. （1）函数 $\text{[math]}$ 和函数 $\text{[math]}$ 是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由；
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”；
3. （3）已知二次函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线 $\text{[math]}$ 与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 上的一点F的坐标，使得四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形．
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