中考数学优生特训：图形变换

如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C ， 点C就是所求的位置．

证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC ， B′C′，

∵直线l是点B ， B′的对称轴，点C ， C′在l上，

∴CB=   ▲   ， C′B=   ▲   ，

∴AC +CB=AC+CB′=   ▲   ．

在△AC′B′，

∵AB′＜AC′+C′B′，

∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．

本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A ， B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A ， C ， B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．

拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D ， 点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）

（Ⅰ）如图①，若点 坐标为 ，求 的长；

（Ⅱ）如图②，将四边形 折叠，使点 落在线段 上的点为点 ， 为折痕，点 在 上，点 在 上，且使 轴．

①试判断四边形 的形状，并证明你的结论；

②求 的值；

（Ⅲ）如图③，将四边形 折叠，使点 落在线段 上的点 与 点重合， 为折痕，点 在 上，点 在 上，求 的值（直接写出结果即可）．

（Ⅰ）如图①，当旋转后满足 轴时，求点C的坐标.

（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 上的一点P旋转后的对应点为 ，当 取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）

求证：

①把△ABC纸片按(如图1)所示折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE是折痕．说明BC//DF；

②把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时(如图2)，探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；

③当点A落在四边形BCED外时(如图3)，∠C与∠1、∠2的关系是．(直接写出结论)