上海市2023届高三数学模拟试卷

更新时间：2023-04-26 浏览次数：55 类型：高考模拟

一、填空题

1. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. $\text{[math]}$ .

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3. 双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点为.

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4. 不等式 $\text{[math]}$ 的解集是.

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5. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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6. $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的零点为.

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7. 设 $\text{[math]}$ ，则满足 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒正的 $\text{[math]}$ 是.（填写序号）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .

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8. 随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下列表格所示，其中 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的数学期望，则 $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
1
2
3
4
5
$\text{[math]}$
0.1
$\text{[math]}$
0.2
0.3
0.1

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9. 有五只笔编号1-5，现将其放入编号1-5的笔筒中，且恰有两只笔没有放入与其编号相同的笔筒中，这样的情况有种.

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10. 无穷数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，存在正整数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ .

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11. 正方体 $\text{[math]}$ 的边长为1，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 上动点，若直线 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 的交点位于 $\text{[math]}$ 内（包括边界），则所有满足要求的点 $\text{[math]}$ 构成的图形面积为.

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12. $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上非严格递增，满足 $\text{[math]}$ ，若存在符合上述要求的函数 $\text{[math]}$ 及实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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二、单选题

13. 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）条件.

A . 充分不必要 B . 充要 C . 必要不充分 D . 既不充分也不必要

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14. 已知两组数据 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中位数､方差均相同，则两组数据合并为一组数据后，（）

A . 中位数一定不变，方差可能变大 B . 中位数一定不变，方差可能变小 C . 中位数可能改变，方差可能变大 D . 中位数可能改变，方差可能变小

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15. 双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 存在 $\text{[math]}$ ，使对于任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 至少有一个公共点 B . 存在 $\text{[math]}$ ，使对于任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 至多有两个公共点 C . 对于任意 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 至少有两个公共点 D . 对于任意 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 至多有一个公共点

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16. 设 $\text{[math]}$ ，若正实数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 则下列选项一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题

17. 函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性，并利用单调性的定义证明；
2. （2） $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有零点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. 正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为底面中心， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的三等分点.
1. （1）求四面体 $\text{[math]}$ 的体积；
2. （2）是否存在侧棱 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ ，使面 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ？若存在，请描述点 $\text{[math]}$ 的位置；若不存在，请说明理由.
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19. 高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 代表山坡，线段 $\text{[math]}$ 为一段平地.设图中 $\text{[math]}$ 坡的倾角满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ .假设该路段的高铁轨道是水平的（与 $\text{[math]}$ 平行），且端点 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 在同一铅垂线上，每隔 $\text{[math]}$ 需要建造一个桥墩（不考虑端点 $\text{[math]}$ 建造桥墩）
1. （1）求需要建造的桥墩的个数；
2. （2）已知高铁轨道的高度为 $\text{[math]}$ ，设计过程中每 $\text{[math]}$ 放置一个桥墩，设桥墩高度为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ），单个桥墩的建造成本为 $\text{[math]}$ （单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值.
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20. 已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，动点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，设直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于D､E两点（P､D､E均不重合）.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 点坐标；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.
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21. 数列 $\text{[math]}$ 项数为 $\text{[math]}$ ，我们称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“映射焦点”，如果 $\text{[math]}$ 满足：① $\text{[math]}$ ；
②对于任意 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，并将最小的 $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ；
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦点？
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是映射焦点，证明： $\text{[math]}$ 的最大值为4；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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