江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二上学期数学期末试...

更新时间：2023-03-08 浏览次数：56 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 1

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2. 若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . 5 D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的交点，则 $\text{[math]}$ 点的横坐标为（）

A . 3 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，则实数 $\text{[math]}$ 取值的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知数列 $\text{[math]}$ 首项为2，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$

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7. 在数列 $\text{[math]}$ 中，若存在不小于2的正整数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 数列”.下列数列中为“ $\text{[math]}$ 数列”的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 在第一象限内图象上一点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 斜率的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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10. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且 $\text{[math]}$ 的周长为6，则下列结论正确的是（）

A . 椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为1 B . 椭圆 $\text{[math]}$ 的短轴长为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ D . 椭圆 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$

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11. 在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，下列结论正确的是（）

A . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的为 $\text{[math]}$ B . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ D . 二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$

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12. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是首项和公比均为2的等比数列，将数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间共有 $\text{[math]}$ 项 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为.

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14. 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线 $\text{[math]}$ 的共轭双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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15. 已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为.

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16. 摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点 $\text{[math]}$ 运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，半径为1的动圆 $\text{[math]}$ 内切于定圆 $\text{[math]}$ 作无滑动的滚动，切点 $\text{[math]}$ 的初始位置为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为；若 $\text{[math]}$ ，且已知线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为.

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四、解答题

17. 如图， $\text{[math]}$ 是三棱锥 $\text{[math]}$ 的高，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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18. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的首项为2，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的实轴长为2，右焦点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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20. 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项为1，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足____.
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .
从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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21. 三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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22. 已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点，上、下顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上异于顶点的一动点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点.
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