江苏省扬州市2022-2023学年高三下学期数学期初考试试卷

更新时间：2023-03-30 浏览次数：52 类型：开学考试

一、单选题

1. 若复数z满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 则其前9项和等于（）

A . 150 B . 180 C . 300 D . 360

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4. 平面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为 $\text{[math]}$ ，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知一组数据 $\text{[math]}$ 的平均数是2，方差是3，则对于以下数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 1，2，3，4，5下列选项正确的是（）

A . 平均数是3，方差是7 B . 平均数是4，方差是7 C . 平均数是3，方差是8 D . 平均数是4，方差是8

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8. 在平面直角坐标系xOy中，x轴正半轴上从左至右四点A､B､C､D横坐标依次为a-c､a､a+c､2a，y轴上点M､N纵坐标分别为m､-2m（m>0），设满足 $\text{[math]}$ 的动点P的轨迹为曲线E，满 $\text{[math]}$ 的动点Q的轨迹为曲线F，当动点Q在y轴正半轴上时，DQ交曲线E于点P₀（异于D），且OP₀与BQ交点恰好在曲线F上，则a：c=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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二、多选题

9. 下列说法中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 展开式中二项式系数最大的项为第三项

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10. 已知实数a，b>0，2a+b=4，则下列说法中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ B . a²+b²有最小值 $\text{[math]}$ C . 4a+2b有最小值8 D . lna+lnb有最小值ln2

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11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数，则 $\text{[math]}$ 称为高斯函数.例如 $\text{[math]}$ 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 则下列说法中正确的有（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . 函数 $\text{[math]}$ 图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 的值域是 $\text{[math]}$ D . 方程 $\text{[math]}$ 只有一个实数根

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12. 在四面体 $\text{[math]}$ 的四个面中，有公共棱 $\text{[math]}$ 的两个面全等， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 大小为 $\text{[math]}$ ，下列说法中正确的有（）

A . 四面体 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$ B . 四面体 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S₃=4，S₆=12，则S₉=.

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14. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且右支上有一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

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15. 某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是 $\text{[math]}$ 则概率 $\text{[math]}$ =.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 从上面三个条件中任选一个，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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18. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 三点共线，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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20. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/亿元
692
962
1334
2091
3229
经计算得： $\text{[math]}$ =36.33， $\text{[math]}$ =112.85.
1. （1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）.
2. （2）云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 $\text{[math]}$ ，其中m为单件产品的成本（单位：元），且 $\text{[math]}$ =0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 $\text{[math]}$ .若保持单件产品的成本不变，则 $\text{[math]}$ 将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
  附：对于一组数据 $\text{[math]}$ 其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
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21. 已知 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的弦，点 $\text{[math]}$ 在抛物线的准线 $\text{[math]}$ 上.当 $\text{[math]}$ 过抛物线焦点 $\text{[math]}$ 且长度为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为直角，求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .（ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数， $\text{[math]}$ ）.
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，求实数a的取值范围；
2. （2）是否存在直线l同时与 $\text{[math]}$ 的图象相切？如果存在，判断l的条数，并证明你的结论；如果不存在，说明理由.
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