2013年高考理数真题试卷（广东卷）

更新时间：2016-10-19 浏览次数：584 类型：高考真卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合M={x|x²+2x=0，x∈R}，N={x|x²﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）

A . {0} B . {0，2} C . {﹣2，0} D . {﹣2，0，2}

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2. 定义域为R的四个函数y=x³ ， y=2^x ， y=x²+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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3. 若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）

A . （2，4） B . （2，﹣4） C . （4，﹣2） D . （4，2）

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4. 已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
则X的数学期望E（X）=（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 3

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5. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6

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6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A . 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B . 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C . 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D . 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

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7. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 $\text{[math]}$ ，则C的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）

A . （y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B . （y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C . （y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D . （y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S

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二、填空题

9. 不等式x²+x﹣2＜0的解集为．

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10. 若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．

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11. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．

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12. 在等差数列{a_n}中，已知a₃+a₈=10，则3a₅+a₇=．

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13. 给定区域D： $\text{[math]}$ ．令点集T={（x₀ ， y₀）∈D|x₀ ， y₀∈Z，（x₀ ， y₀）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定条不同的直线．

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14. （坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为．

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15. 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．

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三、解答题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，x∈R．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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17. 某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
1. （1）根据茎叶图计算样本均值；
2. （2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
3. （3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
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18. 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点， $\text{[math]}$ ，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O= $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：A′O⊥平面BCDE；
2. （2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．
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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁=1， $\text{[math]}$ ，n∈N^* ．
1. （1）求a₂的值；
2. （2）求数列{a_n}的通项公式；
3. （3）证明：对一切正整数n，有 $\text{[math]}$ ．
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20. 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为 $\text{[math]}$ ，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
1. （1）求抛物线C的方程；
2. （2）当点P（x₀ ， y₀）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
3. （3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．
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21. 设函数f（x）=（x﹣1）e^x﹣kx²（k∈R）．
1. （1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．
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