湖北省十一校2023届高三上学期数学12月第一次联考试卷

更新时间：2022-12-24 浏览次数：59 类型：月考试卷

一、单选题

1. 集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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3. 随机掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有 $\text{[math]}$ 共六个数字，记事件 $\text{[math]}$ “骰子向上的点数是1和3”，事件 $\text{[math]}$ “骰子向上的点数是3和6”，事件 $\text{[math]}$ “骰子向上的点数含有3”，则下列说法正确的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 是相互独立事件 B . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 是互斥事件 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 则三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球半径为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恰好取到一次最大值与一次最小值，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列： $\text{[math]}$ ，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为 $\text{[math]}$ ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 的值可由 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 得到，比如兔子数列中 $\text{[math]}$ 代入解得 $\text{[math]}$ .利用以上信息计算 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数 $\text{[math]}$ （）

A . 10 B . 11 C . 12 D . 13

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8. 已知 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为自然常数），则 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（）

A . 平均数为6 B . 平均数为 $\text{[math]}$ C . 方差为 $\text{[math]}$ D . 方差为 $\text{[math]}$

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10. 如图，在边长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动（包括端点），下列选项正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的最小值是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 是奇函数 B . 任意 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 的图象是中心对称图形 C . 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的两个极值点，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调，则 $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过点 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，记 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上 B . 双曲线的离心率 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 内切圆半径最小值是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 的展开式中含 $\text{[math]}$ 项的系数为.

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14. 已知正项等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等比中项，则 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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15. 过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的直线方程为.

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16. 若函数 $\text{[math]}$ 只有一个极值点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知在 $\text{[math]}$ 中，边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的角分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列；
2. （2）求角 $\text{[math]}$ 的最大值.
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18. 已知正项数列 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ .
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19. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为等边三角形，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角大小为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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20. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
1. （1）如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
2. （2）若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
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21. 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，过动点 $\text{[math]}$ 作抛物线的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点；
2. （2）过 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，问：是否存在一点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 四点共圆？若存在，求所有满足条件的 $\text{[math]}$ 点；若不存在，请说明理由.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 且函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是单调递增函数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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